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设f(μ,ν)具有连续偏导数,且fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
设f(μ,ν)具有连续偏导数,且fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
admin
2018-01-30
70
问题
设f(μ,ν)具有连续偏导数,且f
μ
’
(μ,ν)+f
ν
’
(μ,ν)=sin(μ+ν)e
μ+ν
,求y(x)=e
-2x
f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
选项
答案
由y(x)=e
-2x
f(x,x),有 y
’
(x)=一2e
-2x
f(x,x)+e
-2x
[f
1
’
(x,x)+f
2
’
(x,x)], 由f
μ
’
(μ,ν)+f
ν
’
(μ,ν)=sin(μ+ν)e
μ+ν
可得 f
1
’
(x,x)+f
2
’
(x,x)=(sin2x)e
2x
。 于是y(x)满足一阶线性微分方程 y
’
(x)+2y(x)=sin2x, 通解为 y(x)=e
-2x
[∫sin2x.e
2x
dx+C], 由分部积分公式,可得 ∫sin2x.e
2x
dx=[*](sin2x—cos2x)e
2x
, 所以y(x)=[*](sin2x—cos2x)+Ce
-2x
。
解析
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考研数学二
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