设f(μ,ν)具有连续偏导数,且fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

admin2018-01-30  25

问题 设f(μ,ν)具有连续偏导数,且fμ(μ,ν)+fν(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

选项

答案由y(x)=e-2xf(x,x),有 y(x)=一2e-2xf(x,x)+e-2x[f1(x,x)+f2(x,x)], 由fμ(μ,ν)+fν(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν可得 f1(x,x)+f2(x,x)=(sin2x)e2x。 于是y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x, 通解为 y(x)=e-2x[∫sin2x.e2xdx+C], 由分部积分公式,可得 ∫sin2x.e2xdx=[*](sin2x—cos2x)e2x, 所以y(x)=[*](sin2x—cos2x)+Ce-2x

解析
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