2. 考研
  3. 设f(μ，ν)具有连续偏导数，且fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f(μ，ν)具有连续偏导数，且fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2018-01-30  47
问题 设f(μ，ν)具有连续偏导数，且fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
选项
答案由y(x)=e－2xf(x，x)，有 y’(x)=一2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]， 由fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν可得 f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x。 于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x， 通解为 y(x)=e－2x[∫sin2x．e2xdx+C]， 由分部积分公式，可得 ∫sin2x．e2xdx=[*](sin2x—cos2x)e2x， 所以y(x)=[*](sin2x—cos2x)+Ce－2x。
解析
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考研数学二

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