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已知点P(1,0,-1)与点Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M,使得|PM|+|MQ|最小.
已知点P(1,0,-1)与点Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M,使得|PM|+|MQ|最小.
admin
2018-05-21
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问题
已知点P(1,0,-1)与点Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M,使得|PM|+|MQ|最小.
选项
答案
把点P及点Q的坐标代入x-2y+z-12得1-1-12=-12及3-2+2-12=-9,则点P及Q位于平面π的同侧.过点P且垂直于平面π的直线方程为 [*] 得x=1+t,y=-2t,z=t-1, 把x=1+t,y=-2t,z=t-1代入平面π得t=2,所以直线L
1
与平面π的交点坐标为T(3,-4,1).令点P关于平面π的对称点为P’(x
0
,y
0
,z
0
), 则有 [*] 解得对称点的坐标为P’(5,-8,3). [*]={2,-9,1},过点P’及点Q的直线为L
2
: [*] 得x=3+2t,y=1-9t,z=2+t, 把x=3+2t,y=1-9t,z=2+t代入平面π得t=3/7, 所求点M的坐标为M(27/7,-20/7,17/7).
解析
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考研数学一
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