2. 考研
  3. 设曲线y＝ax2(a＞0，x≥0)与y＝1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝ax2围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

设曲线y＝ax2(a＞0，x≥0)与y＝1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝ax2围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

admin2014-05-19  29
问题 设曲线y＝ax2(a＞0，x≥0)与y＝1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝ax2围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
选项
答案当x≥0时，由[*]，故直线OA的方程为[*]，于是旋转体的体积为 [*] 从而有 [*] 令[*]，并由a＞0得唯一驻点a＝4． 由题意知，此旋转体体积在a＝4时取最大值，其最大体积为 [*]
解析 本题是高等数学在几何上的综合应用问题(如图1—3—6)．应先求出交点A的坐标，再导出旋转体的体积，它是参数a的函数，求此函数的最值即可．
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考研数学二

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