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(2004年试题,三(9))设矩阵的特征方程有一个二重根,求口的值,并讨论A是否可相似对角化.
(2004年试题,三(9))设矩阵的特征方程有一个二重根,求口的值,并讨论A是否可相似对角化.
admin
2013-12-18
118
问题
(2004年试题,三(9))设矩阵
的特征方程有一个二重根,求口的值,并讨论A是否可相似对角化.
选项
答案
由题设,[*].则|A—λE|=0,即[*],可得出(λ一2)(λ
2
一8λ+18+3a)=0若A=2是特征方程的二重根,则2
2
一8×2+18+3a=0,解之得a=一2,此时λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=6,且[*]显然r(A一2层)=1,所以对应特征值2有两个线性无关的特征向量,因此A可相似对角化;若λ=2不是特征方程的二重根,则λ
2
一8λ+18+3a=0有二重根,即64—4(18+3a)=0,解之得a=一2/3.此时λ
1
=2,λ
2
=λ
3
=4,且[*]显然r(A一4E)=2,所以对应于特征值4只有一个线性无关的特征向量,所以A不可相似对角化.
解析
如果A~A,且λ
0
是k重特征值,则A
0
应有k个线性无关的特征向量,即齐次方程组(λ
0
E—A)x=0的基础解系,应含n—r(λE—A)=k个向量,故可通过秩r(λ
0
E—A)来判定A是否能对角化.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3934777K
0
考研数学二
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