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设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关.问: α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关.问: α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
admin
2019-05-10
28
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,向量组α
2
,α
3
,α
4
线性无关.问:
α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?证明你的结论.
选项
答案
不能.证一 用反证法证之.如α
4
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,由(1)知α
1
又可由α
2
,α
3
线性表示,故α
4
能由α
2
,α
3
线性表示,这与α
2
,α
3
,α
4
线性无关相矛盾. 证二 由命题2.3.1.2(4)、(5)知,α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故秩(α
1
,α
2
,α
3
)≤2,而α
2
,α
3
,α
4
线性无关,秩(α
2
,α
3
,α
4
)=3.因而 秩(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)≥秩(α
2
,α
3
,α
4
)=3,而秩(α
1
,α
2
,α
3
)≤2, 故 秩(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)>秩(α
1
,α
2
,α
3
), 即 秩(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=秩(α
1
,α
2
,α
3
)+1, 因而α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pjV4777K
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考研数学二
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