2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上可导，且f′+(a)＞0，f′-(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(χ)在(a，b)至少有两个零点．

设f(χ)在[a，b]上可导，且f′+(a)＞0，f′-(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(χ)在(a，b)至少有两个零点．

admin2019-02-23  57
问题 设f(χ)在[a，b]上可导，且f′+(a)＞0，f′-(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(χ)在(a，b)至少有两个零点．
选项
答案f(χ)在[a，b]的连续性，保证在[a，b]上f(χ)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(χ)的最大值在区间端点达到，则必在χ＝a达到．由f(χ)的可导性，必有f′+(a)≤0，条件f′+(a)＞0表明f(χ)的最大值不能在端点达到．同理可证f(χ)的最小值也不能在端点χ＝a或χ＝b达到．因此，f(χ)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点．又f(χ)在[a，b]可导，在极值点处f′(χ)＝0，所以f′(χ)在(a，b)至少有两个零点．
解析
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考研数学二

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