设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt． (1)证明F’(x)单调增加． (2)当x取何值时，F(x)取最小值． (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2016-01-15 42

问题设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫_—a^a｜x一t｜f(t)dt．
(1)证明F’(x)单调增加．
(2)当x取何值时，F(x)取最小值．
(3)当F(x)的最小值为f(a)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案(1) F(x)=∫_—a^a｜x一t｜f(t)dt=∫_—a^x(x一t)f(t)dt+∫_x^a(t一x)f(t)dt =x∫_—a^xf(t)dt—∫_—a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt一∫_x^af(t)dt =x∫_—a^xf(t)dt一∫_—a^xtf(t)dt—∫_a^xtf(t)dz+x∫_a^xf(t)dt， F’(x)=∫_—a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x) =∫_—a^xf(t)dt—∫_x^af(t)dt．所以F"(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数． (2)因为F’(0)=∫_—a⁰f(x)dx一∫₀^af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F"(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点． (3)由2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1，两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a．于是 f’(x)一2xf(x)=2x，解得 f(x)=[f2xe^—∫2xdxdx+C]e^{—∫—2xdx}=[*]一1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)一a²一1中令a=0，得f(0)=1，则C=2，于是 f(x)=[*]一1．

解析

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