首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (1)证明F’(x)单调增加. (2)当x取何值时,F(x)取最小值. (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (1)证明F’(x)单调增加. (2)当x取何值时,F(x)取最小值. (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2016-01-15
77
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt.
(1)证明F’(x)单调增加.
(2)当x取何值时,F(x)取最小值.
(3)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(1) F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt=∫
—a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt—∫
—a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt一∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt—∫
a
x
tf(t)dz+x∫
a
x
f(t)dt, F’(x)=∫
—a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
—a
x
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt. 所以F"(x)=2f(x)>0,因此F’(x)为单调增加的函数. (2)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小值点,也为最小值点. (3)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1,两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a. 于是 f’(x)一2xf(x)=2x, 解得 f(x)=[f2xe
—∫2xdx
dx+C]e
—∫—2xdx
=[*]一1, 在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1中令a=0,得f(0)=1,则C=2,于是 f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cPw4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设a1,a2,…,an是互不相同的实数,且求线性方程组AX=b的解.
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2.求a的值;
设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f’(x)+求f(x).
设n阶矩阵A=。证明:行列式|A|=(n+1)an。
设A=,且存在非零向量α,使得Aα=2α.求常数a.
令f(x)=x-[x],求极限.
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex,确定常数a,b,c,并求该方程的通解。
求由与x轴所围成的区域绕y=2旋转一周而成的几何体的体积。
若函数y=f(x)有fˊ(xo)=1/2,则当△x→0时,该函数在x=xo点外的微分dy是().
设f(x)可导,y=f(cos2x),当x=-π/4处取增量△x=-0.2时,△y的线性部分为0.2,求f’(1/2).
随机试题
休克失代偿期的主要微循环变化是()
A.促进胃排空,增强胃窦和十二指肠运动B.减少胃酸和胃蛋白酶分泌C.促进胃黏膜血流,刺激胃黏液分泌D.防止氢离子反渗,促进胃黏液分泌E.减少胃酸分泌,延缓胃排空吗丁啉能
初产妇自觉胎动,多数开始于
本案一审法院决定适用简易程序是否正确?原因是什么?如果再审法院发现原审遗漏了必须参加诉讼的当事人汇远公司,则法院应当如何处理?
下列关于鉴定人与证人的说法错误的是:()
依据设计合同的规定,对于因设计错误而造成的工程重大质量事故、损失严重的,设计人应承担的违约责任为()。
阅读下面材料,根据要求写作。成长是美丽的,它一路走着,一路抛洒着缤纷的花朵;成长是神奇的,它引领着我们,去创造一个又一个生命的奇迹;成长又是忧伤的,它意味着一次次告别的仪式,和亲人,和自己……以“成长”为话题,写一篇不少于800字的文章。
(2016·广东)学生中常见的焦虑反应是()
某件刺绣产品,需要效率相当的三名绣工8天才能完成;绣品完成50%时,一人有事提前离开,绣品由剩下的两人继续完成;绣品完成75%时,又有一人离开,绣品由最后剩下的那个人做完。那么,完成该件绣品一共用了()。
某燃气公司按以下规定收取燃气费:如果用气量不超过60立方米,按每立方米0.8元收费,如果用气量超过60立方米,则超过部分按每立方米1.2元收费。某用户8月份交的燃气费平均每立方米0.88元,则该用户8月份的燃气费是( )。
最新回复
(
0
)