首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (1)证明F’(x)单调增加. (2)当x取何值时,F(x)取最小值. (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (1)证明F’(x)单调增加. (2)当x取何值时,F(x)取最小值. (3)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2016-01-15
76
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt.
(1)证明F’(x)单调增加.
(2)当x取何值时,F(x)取最小值.
(3)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(1) F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt=∫
—a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt—∫
—a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt一∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt—∫
a
x
tf(t)dz+x∫
a
x
f(t)dt, F’(x)=∫
—a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
—a
x
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt. 所以F"(x)=2f(x)>0,因此F’(x)为单调增加的函数. (2)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小值点,也为最小值点. (3)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1,两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a. 于是 f’(x)一2xf(x)=2x, 解得 f(x)=[f2xe
—∫2xdx
dx+C]e
—∫—2xdx
=[*]一1, 在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1中令a=0,得f(0)=1,则C=2,于是 f(x)=[*]一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cPw4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设(x-3sin3x+ax-2+b)=0,求a,b.
证明:n>3的非零实方阵A,若它的每个元素等于自己的代数余子式,则A是正交矩阵.
设向量α=(a1,a2,…,an)T,其中a1≠0,A=αT.(1)求方程组AX=0的通解;(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量.
求z=x2+12xy+2y2在区域4x2+y2≤25上的最值。
飞机以匀速v沿y轴正向飞行,当飞机行至O时被发现,随即从x轴上点(x0,0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0>0),若导弹方向始终飞向飞机,且速度大小为2v.求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件。
设积分∫1+∞xP(e-cos1/x-e-1)dx收敛,则P的取值范围为()
设半径为r的球的球心位于半径为R的定球面上,试问当前者夹在定球内部的表面积最大时,r等于多少?
设半径为R的球体上,任意一点P处的密度为,其中P0为定点,且与球心的距离r0大于R,则该物体的质量为________.
设t>0,则当t→0时,f(t)=[1-cos(x2+y2)]dxdy是t的n阶无穷小量,则n为().
随机地取两个正数x和y,这两个数中的每一个都不超过1,试求x与y之和不超过1,积不小于0.09的概率.
随机试题
哪项关于纤维素渗出的描述是错误的()(1995年)
治疗中风脱证首选下列哪组腧穴:
患者男,35岁,鼻塞、流脓涕、嗅觉减退1.5年。曾两次手术。查体:体温37.2℃。鼻咽部、耳部、喉部无异常。全身检查无阳性体征。如上述检查发现双侧鼻腔充满荔枝肉样肿物,为了解鼻窦情况目前应作的辅助检查是
最适宜作桥体龈面的材料是()
由出口商签发的要求银行在一定时间内付款的汇票不可能是()
学习为了获得教师、家长或同伴的赞许和接纳,这是一种(),而把学习成就看作是赢得地位和自尊的根源,这是一种()。(2015.贵州)
法的规范作用可以概括为()。
对世界的本原问题存在着不同的哲学观点,请阅读有关材料回答问题:材料1泰勒斯认为万物由水产生,又复归于水;万物有生有灭,而水则是永恒的。——摘自逄锦聚
以下选项中,合法的是
Everyonewhohasvisitedthecityagreesthatitis______withlife.
最新回复
(
0
)