设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，n为正整数证明：∫0nπxf(｜sinx｜)dx＝nπ/2∫0nπf(｜sinx｜)dx

admin2022-06-09 73

问题设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，n为正整数
证明：∫₀^nπxf(｜sinx｜)dx＝nπ/2∫₀^nπf(｜sinx｜)dx

选项

答案由 ∫₀^nπxf(｜sinx｜)dx[*](nπ－t)f[｜sin(nπ－t)｜](－dt) ＝∫₀^nπ (nπ－t)f(｜sint｜)dt＝∫₀^nπ (nπ－x)f(｜sinx｜)dx ＝nπ∫₀^nπf(｜sinx｜)dx－∫₀^nπxf(｜sinx｜)dx，移项，得 ∫₀^nπxf(｜sinx｜)dx＝nπ/2∫₀^nπf(｜sinx｜)dx

解析

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