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设A是m×n矩阵,证明:存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O的充要条件是r(A)<n.
设A是m×n矩阵,证明:存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O的充要条件是r(A)<n.
admin
2018-09-20
75
问题
设A是m×n矩阵,证明:存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O的充要条件是r(A)<n.
选项
答案
充分性 因r(A)<n,故AX=0有非零解,将非零解X组成B,则B≠O,且有AB=O. 必要性 若AB=O,其中B≠O,设B=[β
1
,β
2
,…,β
s
],则Aβ
i
=0,i=1,2,…,s.其中β
i
(i=1, 2,…,s)不全为0,即AX=0有非零解,故r(A)<n.
解析
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考研数学三
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