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  3. 设f(x)在[a，b]可导，且f’+(a)与f’-(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]可导，且f’+(a)与f’-(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0．

admin2016-10-20  32
问题 设f(x)在[a，b]可导，且f’+(a)与f’-(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0．
选项
答案(1)由极限的不等式性质和题设知，存在δ＞0使得a+δ＜b-δ，且 [*] 于是 f(a+δ)＞f(a)，f(b-δ)＞f(b)． 这表明f(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在ξ∈(a，b)使得f(ξ)=[*]．由费马定理知f’(ξ)=0． (2)f(x)在[a，b]必有最大值．若最大值在x=a(或x=b)取到，由最值点处的导数性质知，f’+(a)≤0(f’-(b)≥0)，这与已知矛盾．因此f(x)在[a，b]的最大值不能在x=a及x=b取到，即[*]，x=ξ是f(x)的极值点，f’(ξ)=0．
解析 因f(x)在[a，b]上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值．如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题．注意，由于题设条件中未假设f’(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明．证明时不妨设f’+(a)＞0且f’-(b)＜0.
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考研数学三

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