首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
求正交矩阵Q,将实对称矩阵A=化为对角矩阵.
求正交矩阵Q,将实对称矩阵A=化为对角矩阵.
admin
2016-11-03
41
问题
求正交矩阵Q,将实对称矩阵A=
化为对角矩阵.
选项
答案
方法一 因A的特征多项式为 |λE一A|=(λ一2)
2
(λ一8), 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=8. 现分别求出属于它们的线性无关的特征向量. 当λ
1
=λ
2
=2时,解(2E一A)X=0.由 [*] 得到属于λ
1
=λ
2
=2的线性无关的特征向量为 α
1
=[一1,1,0]
T
,α
2
=[一1,0,1]
T
. 用施密特方法将α
1
与α
2
正交化,为此令β
1
=α
1
=[一1,1,0]
T
,则 β
2
=α
2
[*] 于是β
1
,β
2
为相互正交的特征向量. 当λ
3
=8时,解(8E-A)X=0.因 [*] 由基础解系的简便求法知,属于λ=8的特征向量为 α
3
=[1,1,1]
T
. 将β
1
,β
2
,α
3
单位化分别得到 [*] 则所求的正交矩阵 Q=[η
1
,η
2
,η
3
]=[*] 方法二 因A有二重特征值λ
1
=λ
2
=2,可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵. 已知α
1
=[一1,1,0]
T
为属于λ
1
=2的一个特征向量.设属于λ
1
=2的另一特征向量为[x
1
,x
2
,x
3
]
T
=X.下求X使之与α
1
正交. 因X为λ
1
=2的另一特征向量,故必满足系数矩阵为①的方程,即 [*] 故 x
1
+x
2
+x
3
=0. ② 又X与α
1
正交,有X
T
α
1
=0,即 一x
1
+x
2
=0. ③ 联立式②、式③得到 [*] 故 X=[一1/2,一1/2,1]
T
, 则α
1
,X,α
3
为两两正交的向量组,将其单位化得到 [*] 于是所求的正交矩阵为 Q=[η
1
,η
2
,η
3
]=[*]
解析
一般用施密特正交化的方法求出正交矩阵Q,使Q
-1
AQ为对角矩阵.但如A的特征值中含有一个二重特征值,也可不必用施密特正交化的方法,而用基础解系正交化的方法求出正交矩阵Q,使Q
-1
AQ为对角阵.
其一般步骤是先求出二次型矩阵的特征值、特征向量,将属于同一特征值的线性无关的特征向量正交化,再将所有特征向量单位化,使这些正交单位特征向量为列向量所构成的矩阵即为所求的正交矩阵,它也是正交变换的变换矩阵.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cTu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设函数f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内有fˊ(x)>0.证明:在(a,b)内存在唯一的ε,使曲线y=f(x)与两直线y=f(ε),x=a所围平面图形面积s1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ε),x=b所围平面图形面积S2的3倍.
设f(x)在(-∞,+∞)上可导,(1)若f(x)为奇函数,证明fˊ(x)为偶函数;(2)若f(x)为偶函数,证明fˊ(x)为奇函数;(3)若f(x)为周期函数,证明fˊ(x)为周期函数.
设y=ex,求dy和d2y:(1)x为自变量;(2)x=x(t),t为自变量,x(t)二阶可导.
(I)依题意画图(如右图).由y=x2得yˊ=2x,任给a(0<a≤1),抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线方程为y-a2=2a(x-a),该切线与x轴的交点为(a/2,0),[*]
已知齐次线性方程组(I)方程组仅有零解;(Ⅱ)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
已知线性方程组(Ⅰ)a,b为何值时,方程组有解?(Ⅱ)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系;(Ⅲ)方程组有解时,求出方程组的全部解.
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32(b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换
求连续函数f(x),使它满足f(x)+2∫0xf(t)=x2.
假设随机变量X1,X2,…,X2n独立同分布,且E(Xi)=D(Xi)=1(1≤i≤2n),如果则当常数c=________时,根据独立同分布中心极限定理,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
某闸门的形状与大小如右图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少m(米)?
随机试题
AnoldIndianstorysaysthatthegameofchess(国际象棋)wasinventedbySissaBen,PrimeMinisterofKingShirham.Assoonasthe
Ⅱ型呼吸衰竭应给予吸氧的浓J蔓是
63岁妇女出现血性白带,除生殖系统恶性肿瘤外,考虑有哪些疾病可能
怀疑再生障碍性贫血的老年患者行穿刺的最佳部位是
A.大黄B.火麻仁C.京大戟D.巴豆E.芫花治疗寒积便秘,宜用()
某公司从一家跨国公司购进一套生产速溶咖啡的技术资料,因技术力量薄弱,无法生产出合格产品,遂与某科技大学签订技术合同,约定由该公司提供技术开发所需科研经费,付酬10万元,并派5名技校毕业生协助参与开发工作,主要是整理资料,购买器材等,但对开发出的成果如何申请
素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式,它重视人的()。
根据以下资料。回答下列题。2011年,我国能源生产总量达到31.8亿吨标准煤,是世界第一大能源生产国。其中,原煤产量35.2亿吨,原油产量稳定在2亿吨,成品油产量2.7亿吨。天然气产量快速增长,达到1031亿立方米。电力装机容量10.6亿千瓦。年
______foreverarethedays______Iwasyoung.
Splittingdinnercheckscancauseasplittingheadache,evenwhenthedinersaremathematicsmajors.Threecomputerscience【B1】_
最新回复
(
0
)