设λ1、λ2分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、X2分别为对应于λ1和λn的特征向量，记 f(X)=，X∈R2，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，minf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．

admin2016-04-11 41

问题设λ₁、λ₂分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X₁、X₂分别为对应于λ₁和λ_n的特征向量，记
f(X)=

，X∈R²，X≠0
证明：λ₁≤f(X)≤λ_n，minf(X)=λ₁=f(X₁)，maxf(X)=λ_n=f(X_n)．

选项

答案只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y₁，…，y_n)^T)，使得X^TAX[*]λ₁y₁²+…+λ_ny_n^T≤λ_n(y₁^T+…+y_n^T)=λ_n‖y‖²，由于正交变换不改变向量长度，故有‖Y‖=‖X‖=X^TX，上式即X^TAX≤λ_nX^TX，当X≠0时，X^TX＞0，即得f(X)=[*]=λ_n，于是得maxf(X)=λ_n．

解析

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考研数学一

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设λ1、λ2分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、X2分别为对应于λ1和λn的特征向量，记 f(X)=，X∈R2，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，minf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．

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