设λ1、λ2分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、X2分别为对应于λ1和λn的特征向量,记 f(X)=,X∈R2,X≠0 证明:λ1≤f(X)≤λn,minf(X)=λ1=f(X1),maxf(X)=λn=f(Xn).

admin2016-04-11  26

问题 设λ1、λ2分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、X2分别为对应于λ1和λn的特征向量,记
    f(X)=,X∈R2,X≠0
证明:λ1≤f(X)≤λn,minf(X)=λ1=f(X1),maxf(X)=λn=f(Xn).

选项

答案只证最大值的情形(最小值情形的证明类似):必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵,Y=(y1,…,yn)T),使得XTAX[*]λ1y12+…+λnynT≤λn(y1T+…+ynT)=λn‖y‖2,由于正交变换不改变向量长度,故有‖Y‖=‖X‖=XTX,上式即XTAX≤λnXTX,当X≠0时,XTX>0,即得f(X)=[*]=λn,于是得maxf(X)=λn

解析
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