设A为n阶实对称可逆矩阵，f(χ1，χ2，…，χn)＝χiχj． (1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把二次型f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式； (2)二次型g(X)＝XTAX是否与f(χ1，χ2，…，χn)合同?

admin2019-08-23 42

问题设A为n阶实对称可逆矩阵，f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝

χ_iχ_j．
(1)记X＝(χ₁，χ₂，…，χ_n)^T，把二次型f(χ₁，χ₂，…，χ_n)写成矩阵形式；
(2)二次型g(X)＝X^TAX是否与f(χ₁，χ₂，…，χ_n)合同?

选项

答案(1)f(X)＝(χ₁，χ₂，…，χ_n)[*]，因为r(A)＝n，所以｜A｜≠0，于是[*]A^*＝A^-1显然A^*，A^-1都是实对称矩阵． (2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A^-1合同，故二次型f(χ₁，χ₂，…，χ_n)与g(X)＝X^TAX规范合同．

解析

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