设，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。[img][/img]

admin2018-12-19 44

问题设

，且存在正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵。若Q的第一列为

(1，2，1)^T，求a，Q。[img][/img]

选项

答案按已知条件，(1，2，1)^T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ₁，那么 [*] 又因 [*]=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，一4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α₂=(1，一1，1)^T。对λ=一4，由(一4E—A)x=0得基础解系α₃=(一1，0，1)^T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α₂，α₃，即 [*] 则令 [*] 则有 Q^T AQ=Q^—1AQ=[*]

解析

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