设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。

admin2018-12-19 103

问题设二次型f=x₁²+x₂²+x₃²—4x₁x₂—4x₁x₃+2ax₂x₃经正交变换化为3y₁²+3y₂²+by₃²，求a，b的值及所用正交变换。

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1+1=3+3+b得b=一3。对λ=3，则有｜3E—A｜=[*]=一2(a+2)²=0，因此a=一2(二重根)。由(3E—A)x=0，得特征向量α₁=(1，一1，0)^T，α₂=(1，0，一1)^T。由(一3E一A)x=0，得特征向量α₃=(1，1，1)^T。因为λ=3是二重特征值，对α₁，α₂正交化有 β₁=α₁=(1，一1，0)^T， [*] 单位化，有 [*] 则令 C=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*] 经正交交换x=Cy，二次型化为3y₁²+3y₂²一3y₃²。

解析

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考研数学二

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设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。

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