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  3. 设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是 ( )

设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是 ( )

admin2018-11-22  30
问题 设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是    (    )
选项 A、∫01f(t)dt
B、∫01f(t2)dt
C、∫01f’(t2)dt
D、∫01f(t)f’(t)dt
答案D
解析 当g(x+T)=g(x)时，因为
    ∫0x+TTg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫xx+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫0Tg(t)dt，若∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt，则∫0Tg(t)dt=0．反之，若∫0Tg(t)dt=0，则∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt．
因为f(x)是以T为周期的函数，所以四个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅∫0Tf(t)f’(t)dt=[f(t)]2｜0T=[f2(T)－f2(0)]=0，
因此，只有∫0xf(t)f’(t)dt是以T为周期的函数．
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