设，则Dn中所有元素的代数余子式之和为__________．

admin2019-08-26 29

问题设

，则D_n中所有元素的代数余子式之和为__________．

选项

答案n!

解析【思路探索】利用公式
D_n=α_i1A_i1+α_i2A_i2+…+α_inA_in，
0=α_i1A_j1+α_i2A_j2+…+α_inA_jn(i≠j)．
解：因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以
1·A₁₁+1·A ₁₂+…+1·A _1n=D_n=n!．
因第一行元素与第i行(i≥2)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以
1·A _i1+1·A_i2+…+l·A_in=0．
故所有元素代数余子式之和为，n!
故应填n!．
【错例分析】本题主要错误在于只求出第l行元素代数余子式之和，而未能利用公式
0=α_i1A_j1+α_i2A_j2+…+α_inA_jn (i≠j)
求得其他元素的代数余子式之和．

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