2. 考研
  3. 设矩阵A=，且A3=0． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X－XA2－AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

设矩阵A=，且A3=0． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X－XA2－AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

admin2018-07-26  49
问题 设矩阵A=，且A3=0．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若矩阵X满足X－XA2－AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．
选项
答案(Ⅰ)由A3=O两端取行列式，得|A|3=0，从而得|A|=0，而|A|=a3，所以a=0． (Ⅱ)1由已知的X－XA2－AX+AXA2=E，得 X(E－A2)－AX(E－A2)=E 即(E－A)X(E－A2)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E－A，E－A2均可逆，所以 X=(E－A)－1(E－A2)－1 [*] 2同1一样可得 (E－A)X(E－A2)=E 所以 X=(E－A)－1(E－A2)－1=[E－A2)(E－A)]－1 =[E－A－A2+A3]－1=[E－A－A2]－1 由(Ⅰ)知 E－A－A2 [*] 所以 X=(E－A－A2)－1 [*]
解析
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考研数学三

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