设函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x0)=f"(x0)=…..=f(n-1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0,试证: 当n为奇数时,f(x0)不是极值.

admin2022-09-05 56

问题设函数f(x)在x₀的某一邻域内具有直到n阶的连续导数,且f’(x₀)=f"(x₀)=…..=f^(n-1)(x₀)=0，而f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0,试证:
当n为奇数时,f(x₀)不是极值.

选项

答案当n为奇数时，若x＜x₀，则(x－x₀)ⁿ＜0,若x＞x₀，则(x－x₀)ⁿ＞0,所以不论f⁽ⁿ⁾(x₀)的符号如何，当(x－x₀)由负变正时，则f(x)－f(x₀)的符号也随之改变，因此f(x)在x₀处不取得极值。

解析

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