求幂级数的收敛域与和函数，并求的和。

admin2019-12-24 107

问题求幂级数

的收敛域与和函数，并求

的和。

选项

答案由[*]，当｜x｜＜1时，幂级数收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散；当x＝1时，幂级数[*]收敛；当x＝－1时，幂级数[*]发散。因此该幂级数的收敛域为(－1，1]。记S(x)＝[*]，φ(x)＝xS(x)＝[*]，x∈(－1，1]，则φ(0)＝0， S(0)＝1，且 φ’(x)＝[*]，x∈(－1，1)。因为 [*] 于是 [*] 令x＝1，得[*]＝[*]

解析本题考查幂级数的收敛域及和函数，可以利用比较法求幂级数的收敛半径，然后验证级数在端点处的敛散性。求和函数利用级数逐项求导不改变收敛半径的性质，转化为容易求和函数的级数，再对结果求积分。

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