设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

admin2015-06-29 42

问题设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

选项

答案由(aE-A)(bE-A)=O，得｜aE-A｜｜bE-A｜=0，则｜aE—A｜=0或者｜bE-A｜=0．又由(aE-A)(bE-A)=0，得r(aE—A)一r(bE—A)≤n．同时r(aE--A)+r(bE—A)≥r[(aE-A)-(bE—A)]=r[(a一b)E]=n．所以r(aE-A)+r(bE—A)=n． (1)若｜aE-A｜≠0，则r(aE-A)=n，所以r(bE—A)=0，故A=bE． (2)若｜bE—A｜≠0，则r(bE—A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE． (3)若｜aE-A｜=0且｜bE—A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值．方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个；方程组(bE—A)X=0的基础解系含有n-r(bE—A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE—A)个．因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

解析

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考研数学一

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设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

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