二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

admin2019-01-23 429

问题二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX在正交变换X＝QY下化为10y₁²－4y₂²－4y₃²，Q的第1列为

(1)求A．
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

选项

答案(1)Q的第1列α₁＝[*]是A的属于10的特征向量，其[*]倍η₁＝(1，2，3)^T也是属于10的特征向量．于是A的属于一4的特征向量和(1，2，3)^T正交，因此就是方程χ₁＋2χ₂＋3χ₃＝0的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η₂＝(2，－1，0)^T，η₃＝(1，2，[*])^T．建立矩阵方程A(η₁，η₂，η₃)＝(10η₁，－4η₂，－4η₃)，用初等变换法解得 [*] (2)将η₂，η₃单位化得α₂＝[*](2，－1，0)^T， α₃＝[*](3，6，－5)^T．则正交矩阵Q＝(α₁，α₂，α₃)满足要求．

解析

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考研数学一

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二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

考研数学一

设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)=n一3，证明η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．

设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

(I)设X与Y相互独立，且X～N(5，15)，Y—χ2(5)，求概率P{X一5＞}；(Ⅱ)设总体X～N(2．5，62)，X1，X2，X3，X4，X5是来自X的简单随机样本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}．

设α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0),α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分I＝(lx2＋my2＋nz2)dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤x2，l，m，n为常数．

设A是n阶非零实矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT＝A，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．

若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*是正定矩阵．

5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．

设f(x)是区间[一π，π]上的偶函数，且满足．证明：f(x)在[一π，π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n＝0，n＝1，2，…．

关于“属性冲突”的叙述，正确的是【】

微分方程yˊ+ytanχ-cosχ的通解为_____。

下列病证中，面见赤色的病证有()。

韩国公民金某与德国公民汉森自2013年1月起一直居住于上海，并于该年6月在上海结婚。2015年8月，二人欲在上海解除婚姻关系。关于二人财产关系与离婚的法律适用，下列哪些选项是正确的？(2015年卷一第78题)

“十五”期间要坚持把()放在土地利用和管理的首位。

年限法是把建筑物的折旧建立在()的基础上。

在完全竞争市场上，整个行业的需求曲线()。

A:Ilikethatbluetie,butIcan’tbelievethepriceonit.Ireallycan’taffordtospendthatmuchmoneyonatie.B:___

二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

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设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)=n一3，证明η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．

设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

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设α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0),α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分I＝(lx2＋my2＋nz2)dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤x2，l，m，n为常数．

设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT＝A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．

若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*是正定矩阵．

5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．

设f(x)是区间[一π，π]上的偶函数，且满足．证明：f(x)在[一π，π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n＝0，n＝1，2，…．

关于“属性冲突”的叙述，正确的是【】

微分方程yˊ+ytanχ-cosχ的通解为_____。

下列病证中，面见赤色的病证有()。

韩国公民金某与德国公民汉森自2013年1月起一直居住于上海，并于该年6月在上海结婚。2015年8月，二人欲在上海解除婚姻关系。关于二人财产关系与离婚的法律适用，下列哪些选项是正确的？(2015年卷一第78题)

“十五”期间要坚持把()放在土地利用和管理的首位。

年限法是把建筑物的折旧建立在()的基础上。

在完全竞争市场上，整个行业的需求曲线()。

A:Ilikethatbluetie,butIcan’tbelievethepriceonit.Ireallycan’taffordtospendthatmuchmoneyonatie.B:___

设A是n阶非零实矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT＝A，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．