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  3. 二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

admin2019-01-23  431
问题  二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为
    (1)求A．
    (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
选项
答案(1)Q的第1列α1＝[*]是A的属于10的特征向量，其[*]倍η1＝(1，2，3)T也是属于10的特征向量．于是A的属于一4的特征向量和(1，2，3)T正交， 因此就是方程χ1＋2χ2＋3χ3＝0的非零解． 求出此方程的一个正交基础解系η2＝(2，－1，0)T，η3＝(1，2，[*])T． 建立矩阵方程A(η1，η2，η3)＝(10η1，－4η2，－4η3)，用初等变换法解得 [*] (2)将η2，η3单位化得α2＝[*](2，－1，0)T， α3＝[*](3，6，－5)T． 则正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)满足要求．
解析
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考研数学一

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