设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1}上服从均匀分布．(I)问X与y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

admin2017-08-18 67

问题设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D＝{(x，y)｜x²＋y²≤1}上服从均匀分布．(I)问X与y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

选项

答案依题意，(X，Y)的联合密度为 [*] (I)为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度f_X(x)与f_Y(y)． [*] 当｜x｜>1时，f_X(x)＝0．类似地，有[*] 当x＝y＝0时，f(0，0)＝[*]，而f_x(0)f_y(0)＝[*]．显然它们不相等，因此随机变量X 与Y不是相互独立的．或f_X(x)·f_Y(y)≠f(x，y)，故X与Y不相互独立． [*] 在这里，被积函数是奇函数，而积分区间[一1，1]又是关于原点对称的区间，故积分值为零．类似地，有 EY＝0， [*] 故 Cov(X，Y)＝E(XY)一EXEY＝0， [*]

解析

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考研数学一

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