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  3. 设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。

设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。

admin2020-05-16  48
问题 设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。
选项
答案令s=x－t，得f(x)=(x－π)2－∫πx(x－s)f(s)ds，即 f(x)=(x－π)2－x∫πxf(s)ds+∫πxsf(s)ds， (1) 现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得 f’(x)=2(x－π)－∫πxf(s)ds， (2) 又(1)式中令x=π得f(π)=0。 再对(2)式求导得 f"(x)+f(x)=2。 在(2)式中令x=π得f’(π)=0。 于是问题转化为初值问题[*]其中y=f(x)。 这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx+2。 [*] y=f(x)=2cosx+2。
解析
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考研数学三

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