设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。

admin2020-05-16 34

问题设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)²－∫₀^x－πtf(x－t)dt，求f(x)。

选项

答案令s=x－t，得f(x)=(x－π)²－∫_π^x(x－s)f(s)ds，即 f(x)=(x－π)²－x∫_π^xf(s)ds+∫_π^xsf(s)ds， (1) 现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得 f’(x)=2(x－π)－∫_π^xf(s)ds， (2) 又(1)式中令x=π得f(π)=0。再对(2)式求导得 f"(x)+f(x)=2。在(2)式中令x=π得f’(π)=0。于是问题转化为初值问题[*]其中y=f(x)。这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解y^*=2，于是通解为 y=C₁cosx+C₂sinx+2。 [*] y=f(x)=2cosx+2。

解析

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