设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2019-04-22 32

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案设A=2αα^T+ββ^T，由于｜α｜=1，α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=(2αα^T+ββ^T)α =2α｜α｜²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量；Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2αα^Tβ+β｜β｜²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ckV4777K

考研数学二

相关试题推荐

设A是任一n(n≥3)阶方阵，k≠0，±1，则必有(kA)*=()．
设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为()
证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．
飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．
设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)-1＝_______．
求不定积分
设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求｜B*＋E｜．
设α1，α2，…，αs为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αs线性无关．
设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．
设A，B为3阶相似矩阵，且｜2E+A｜=0，λ1=1，λ2=一1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=____________．

随机试题

火焰钎焊是利用一____与____混合燃烧的火焰加热焊件。
A、AsurveyoffarmersinnorthernJapan.B、Testsperformedonathousandoldpeople.C、Thestudyofbrainvolumesofdifferentp
在下列化学药品中。哪种是显影液和定影液的共用药品
根据《建设工程安全生产管理条例》规定，下列说法正确的是()。
顾客所关心的问题不包括()。
[2012年·吉林·案例分析]阅读下面案例材料，回答问题。在上课时，林老师在给学生讲“磁铁”之前演示了一个小“魔术”：一盆水中游着一只“小鹅”(标本)，林老师手里拿着一块面包吸引“小鹅”，“小鹅”就紧紧跟着面包转。学生都感到很惊奇。林老师边演示边
5，10，26，65，145，()
在窗体中添加一个名称为Coml的命令按钮，然后编写如下程序：PrivateSubs(ByValPAsInteger)p=p*2EndSubPrivateSubComl_Click()
为了防止信息被别人窃取，可以设置开机密码，下列密码设置最安全的是()。
Ialwayseatbreakfast,andsuggestthatyoudotoo.Weallneedfoodinthemorningtosupplyourselves【C1】______sourcesofgl

最新回复(0)

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学二

设A是任一n(n≥3)阶方阵，k≠0，±1，则必有(kA)*=()．

设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为()

证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．

飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．

设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)-1＝_______．

求不定积分

设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求｜B*＋E｜．

设α1，α2，…，αs为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αs线性无关．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设A，B为3阶相似矩阵，且｜2E+A｜=0，λ1=1，λ2=一1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=____________．

火焰钎焊是利用一____与____混合燃烧的火焰加热焊件。

A、AsurveyoffarmersinnorthernJapan.B、Testsperformedonathousandoldpeople.C、Thestudyofbrainvolumesofdifferentp

在下列化学药品中。哪种是显影液和定影液的共用药品

根据《建设工程安全生产管理条例》规定，下列说法正确的是()。

顾客所关心的问题不包括()。

5，10，26，65，145，()

在窗体中添加一个名称为Coml的命令按钮，然后编写如下程序：PrivateSubs(ByValPAsInteger)p=p*2EndSubPrivateSubComl_Click()

为了防止信息被别人窃取，可以设置开机密码，下列密码设置最安全的是()。

Ialwayseatbreakfast,andsuggestthatyoudotoo.Weallneedfoodinthemorningtosupplyourselves【C1】______sourcesofgl

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

火焰钎焊是利用一与混合燃烧的火焰加热焊件。