2. 考研
  3. 设a0，a1，an-1为n个实数，方阵 (1)若λ是A是一个特征值，证明α=[1，λ，λ2，…，λn-1]T是A的对应于λ的特征向量； (2)若A的特征值两两互异，求一可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

设a0，a1，an-1为n个实数，方阵 (1)若λ是A是一个特征值，证明α=[1，λ，λ2，…，λn-1]T是A的对应于λ的特征向量； (2)若A的特征值两两互异，求一可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

admin2018-09-20  81
问题 设a0，a1，an-1为n个实数，方阵

(1)若λ是A是一个特征值，证明α=[1，λ，λ2，…，λn-1]T是A的对应于λ的特征向量；
(2)若A的特征值两两互异，求一可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)A的特征多项式 [*] =λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，因λ是A的特征值，故 |λE一A|=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0， 于是得到 λn=一(an-1λn-1+…+a1λ+a0)， 所以 [*] 因而，α=[1，λ，λ2，…，λn-1]T是A的对应于λ的特征向量，故αi=[1，λi，λi2，…，λin-1]T是A的对应 于λi(i=1，2，…，n)的特征向量． (2)由于A的特征值λ1，λ2，…，λn两两互异，故依次对应的特征向量α1，α2，…，αn线性无 关，因为Aαi=λiαi(i=1，2，…，n)，令P=[α1，α2，…，αn]，则有 [*] 从而P即为所求．
解析
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考研数学三

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