设a0，a1，an-1为n个实数，方阵 (1)若λ是A是一个特征值，证明α=[1，λ，λ2，…，λn-1]T是A的对应于λ的特征向量； (2)若A的特征值两两互异，求一可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

admin2018-09-20 29

问题设a₀，a₁，a_n-1为n个实数，方阵

(1)若λ是A是一个特征值，证明α=[1，λ，λ²，…，λ^n-1]^T是A的对应于λ的特征向量；
(2)若A的特征值两两互异，求一可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案(1)A的特征多项式 [*] =λⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀，因λ是A的特征值，故 |λE一A|=λⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀=0，于是得到 λⁿ=一(a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀)，所以 [*] 因而，α=[1，λ，λ²，…，λ^n-1]^T是A的对应于λ的特征向量，故α_i=[1，λ_i，λ_i²，…，λ_i^n-1]^T是A的对应于λ_i(i=1，2，…，n)的特征向量． (2)由于A的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n两两互异，故依次对应的特征向量α₁，α₂，…，α_n线性无关，因为Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，…，n)，令P=[α₁，α₂，…，α_n]，则有 [*] 从而P即为所求．

解析

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考研数学三

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设a0，a1，an-1为n个实数，方阵 (1)若λ是A是一个特征值，证明α=[1，λ，λ2，…，λn-1]T是A的对应于λ的特征向量； (2)若A的特征值两两互异，求一可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

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