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设a0,a1,an-1为n个实数,方阵 (1)若λ是A是一个特征值,证明α=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于λ的特征向量; (2)若A的特征值两两互异,求一可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
设a0,a1,an-1为n个实数,方阵 (1)若λ是A是一个特征值,证明α=[1,λ,λ2,…,λn-1]T是A的对应于λ的特征向量; (2)若A的特征值两两互异,求一可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
admin
2018-09-20
45
问题
设a
0
,a
1
,a
n-1
为n个实数,方阵
(1)若λ是A是一个特征值,证明α=[1,λ,λ
2
,…,λ
n-1
]
T
是A的对应于λ的特征向量;
(2)若A的特征值两两互异,求一可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)A的特征多项式 [*] =λ
n
+a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
,因λ是A的特征值,故 |λE一A|=λ
n
+a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
=0, 于是得到 λ
n
=一(a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
), 所以 [*] 因而,α=[1,λ,λ
2
,…,λ
n-1
]
T
是A的对应于λ的特征向量,故α
i
=[1,λ
i
,λ
i
2
,…,λ
i
n-1
]
T
是A的对应 于λ
i
(i=1,2,…,n)的特征向量. (2)由于A的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
两两互异,故依次对应的特征向量α
1
,α
2
,…,α
n
线性无 关,因为Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,…,n),令P=[α
1
,α
2
,…,α
n
],则有 [*] 从而P即为所求.
解析
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考研数学三
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