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计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向往负向看L,L是逆时针方向.
计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向往负向看L,L是逆时针方向.
admin
2019-07-19
13
问题
计算I=∮
L
(y
2
-z
2
)dx+(2z
2
-x
2
)dy+(3x
2
-y
2
)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向往负向看L,L是逆时针方向.
选项
答案
(用参数式计算) 由于L是由4个直线段构成的四边形,所以用参数式计算时,要分段计算. L:|x|+|y |=1,z=2-x-y. 当x≥0,y≥0时,L
1
:y=1-x,z=2-x-y=1,x从1到0,有 ∫
L
1
(y
2
-z
2
)dz+(2z
2
-x
2
)dy+(3x
2
-y
2
)dz=∫
1
0
[(1-x)
2
-1+(2-x
2
)(-1)]dx=[*] 当,x≤0,Y≥0时,L
2
:y=1+x,z=1-2x,x从0到-1,有. ∫
L
2
=∫
0
-1
(2x+4)dx=-3. 当x≤0,y≤0时,L
3
:y=-1-x,z=3,x从-1到0,有 ∫
L
3
=∫
-1
0
(2x
2
+2x-26)dx=[*] 当x≥0,y≤0时,L
4
:y=x-1,z=3-2x,x从0到1,有 ∫
L
4
=∫
0
1
(-18x+12)dx=3. 所以 I=∫
L
1
+∫
L
2
+∫
L
3
+∫
L
4
=-24.
解析
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考研数学一
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