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设二次型f(x1,x2,x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围是________.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围是________.
admin
2021-01-19
23
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
一x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数为1,则a的取值范围是________.
选项
答案
[一2,2].
解析
对f配方,可得
f=(x
1
+ax
3
)
2
一(x
2
—2x
3
)
2
+(4 一 a
2
)x
3
2
于是f可经可逆线性变换
化成标准形
f=z
1
2
—z
2
2
+(4 一 a
2
)z
3
2
若4一a
2
<0,则f的负惯性指数为2,不合题意;
若4一a
2
≥0,则f的负惯性指数为1.
因此,当且仅当4一a
2
≥0,即|a|≤2时,f的负惯性指数为1.
f的矩阵为
A的特征多项式为
=λ
3
一(5+a
2
)λ+4一a
2
,
设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则f经正交变换可化成标准形
f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
λ
1
,λ
2
,λ
3
中为负的个数即d的负惯性指数,且由特征值的性质知
λ
1
λ
2
λ
3
=det(A)=4一a
2
.
由于f既可取到正值、又可取到负值,所以λ
1
,λ
2
,λ
3
中至少有一个为正的,也至少有一个为负的,λ
1
λ
2
λ
3
的符号只有下列3种可能:
(1)λ
1
λ
2
λ
3
=0,此时有λ
3
=0,λ
1,2
=
即f的正、负惯性指数都为1,符号题意.
(2)λ
1
λ
2
λ
3
<0,此时λ
1
,λ
2
,λ
3
中有一个为负的,2个为正的(不可能3个都为负,否则与f可取到正值矛盾),符号题意.
(3)λ
1
λ
2
λ
3
>0,此时λ
1
,λ
2
,λ
3
中3个都为正的,或者2个为负的,1个为正的,都不符号题意.
综上可知,当且仅当λ
1
λ
2
λ
3
=4 一a
2
≤0,即|a|=2时,符号题意.
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考研数学二
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