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设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是________．
设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是________．
admin
2021-01-19
35
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
一x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数为1，则a的取值范围是________．
选项
答案
[一2，2]．
解析
对f配方，可得
f=(x
1
+ax
3
)
2
一(x
2
—2x
3
)
2
+(4 一 a
2
)x
3
2
于是f可经可逆线性变换
化成标准形
f=z
1
2
—z
2
2
+(4 一 a
2
)z
3
2
若4一a
2
＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；
若4一a
2
≥0，则f的负惯性指数为1．
因此，当且仅当4一a
2
≥0，即|a|≤2时，f的负惯性指数为1．
f的矩阵为
A的特征多项式为
=λ
3
一(5+a
2
)λ+4一a
2
，
设A的特征值为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则f经正交变换可化成标准形
f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
λ
1
，λ
2
，λ
3
中为负的个数即d的负惯性指数，且由特征值的性质知
λ
1
λ
2
λ
3
=det(A)=4一a
2
．
由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ
1
，λ
2
，λ
3
中至少有一个为正的，也至少有一个为负的，λ
1
λ
2
λ
3
的符号只有下列3种可能：
(1)λ
1
λ
2
λ
3
=0，此时有λ
3
=0，λ
1，2
=
即f的正、负惯性指数都为1，符号题意．
(2)λ
1
λ
2
λ
3
＜0，此时λ
1
，λ
2
，λ
3
中有一个为负的，2个为正的(不可能3个都为负，否则与f可取到正值矛盾)，符号题意．
(3)λ
1
λ
2
λ
3
＞0，此时λ
1
，λ
2
，λ
3
中3个都为正的，或者2个为负的，1个为正的，都不符号题意．
综上可知，当且仅当λ
1
λ
2
λ
3
=4 一a
2
≤0，即|a|=2时，符号题意．
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考研数学二
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