2. 考研
  3. 设f（x）在[a，b]上可导，f’（x）+[f（x）]2一∫axf（t）dt=0，且∫ab（t）dt=0，则∫ax（t）dt在（a，b）内必定

设f（x）在[a，b]上可导，f’（x）+[f（x）]2一∫axf（t）dt=0，且∫ab（t）dt=0，则∫ax（t）dt在（a，b）内必定

admin2017-11-22  11
问题 设f（x）在[a，b]上可导，f’（x）+[f（x）]2一∫axf（t）dt=0，且∫ab（t）dt=0，则∫ax（t）dt在（a，b）内必定
选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、恒为零．
D、变号．
答案C
解析 设F(x)=∫ax(t）dt，若F(x)在（a，b）内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在（a，b）内存在最大值且为正，从而知F(x)必在（a，b）内存在正的极大值，记该极大值点为x0，于是F’（x0）=0，F(x0)＞0．即f(x0）=0，∫ax0f(t)dt＞0，代入原方程，得
F"（x0）=∫ax0f(t)dt＞0，这表明F(x0)应是极小值，导致矛盾．同理可知F(x)在（a，b）内也不可能取到负值，故选(C)．
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考研数学三

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