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设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0,且∫ab(t)dt=0,则∫ax(t)dt在(a,b)内必定
设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0,且∫ab(t)dt=0,则∫ax(t)dt在(a,b)内必定
admin
2017-11-22
17
问题
设f(x)在[a,b]上可导,f’(x)+[f(x)]
2
一∫
a
x
f(t)dt=0,且∫
a
b
(t)dt=0,则∫
a
x
(t)dt在(a,b)内必定
选项
A、恒为正.
B、恒为负.
C、恒为零.
D、变号.
答案
C
解析
设F(x)=∫
a
x
(t)dt,若F(x)在(a,b)内可取正值,由于F(a)=F(b)=0,故F(x)在(a,b)内存在最大值且为正,从而知F(x)必在(a,b)内存在正的极大值,记该极大值点为x
0
,于是F’(x
0
)=0,F(x
0
)>0.即f(x
0
)=0,∫
a
x0
f(t)dt>0,代入原方程,得
F"(x
0
)=∫
a
x0
f(t)dt>0,这表明F(x
0
)应是极小值,导致矛盾.同理可知F(x)在(a,b)内也不可能取到负值,故选(C).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/d6X4777K
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考研数学三
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