2. 考研
  3. 设A，B为挖阶矩阵，下列命题成立的是( )．

设A，B为挖阶矩阵，下列命题成立的是( )．

admin2020-02-27  95
问题 设A，B为挖阶矩阵，下列命题成立的是(    )．
选项 A、A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
B、R(A)＜n与R(B)＜n均成立的充要条件是R(AB)＜n
C、Aχ＝0与Bχ＝0同解的充要条件是A与B等价
D、A与B相似的充要条件是E－A与E－B相似
答案D
解析 A与B类似，故均错误，而C仅是必要而非充分条件，故应选D．
    事实上，若A～B，则由相似矩阵的性质知E－A～E－B；
    反之，若E－A～E－B，则E－(E－A)～E－(E－B)，即A～B．
    对于选项A，若A与B均不可逆，则｜A｜＝｜B｜＝0，从而｜AB｜＝｜A｜｜B｜＝0，即AB不可逆，但若AB不可逆，推出A与B均不可逆，如A＝E，B＝，则AB＝B不可逆，但A可逆．
    对于选项B，与选项A相近，由于R(AB)≤min{R(A)，R(B)}，故若R(A)＜n与R(B)＜n均成立，
    则R(AB)＜n但反之，若R(AB)＜n，推不出R(A)＜n或R(B)＜n，如A＝E，B＝，则R(AB)＝R(B)＝1＜2，但R(A)＝2．
    对于选项C，由同型矩阵A与B等价R(A)＝R(B)可知，若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则A与B等价；
    但反之不然，如A＝，B＝，则A，B等价，但Aχ＝0与Bχ＝0显然不同解．
    故应选D．
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考研数学三

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