设矩阵 其中ai,bi(i=1,2,…,n)不全为零.设tr(A)=a.证明: (Ⅰ)a≠0,矩阵相似于对角阵; (Ⅱ)a=0,矩阵不能相似于对角阵.

admin2020-12-17  34

问题 设矩阵

其中ai,bi(i=1,2,…,n)不全为零.设tr(A)=a.证明:
(Ⅰ)a≠0,矩阵相似于对角阵;
(Ⅱ)a=0,矩阵不能相似于对角阵.

选项

答案(Ⅰ)设α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,则矩阵A=αβT. 于是 A2=AA=(αβT)(αβT)=(βTα)αβT =([*]aibi)A=tr(A).A=aA. 设λ是A的特征值,ξ是对应的特征向量,则 A2ξ=aAξ,λ2ξ=aλξ,(λ2一aλ)ξ=0. 由于ξ≠0,故有λ(λ—a)=0.所以,矩阵A的特征值是0或a.又因为[*]λi=tr(A)=a≠0,所以λ1=a是A的1重特征值,λ23=…=λn=0是A的n一1重特征值. 对于特征值λ23=…=λn=0,齐次线性方程组(0.E一A)x=0其系数矩阵的秩 r(0.E—A)=r(一A)=r(A) =r(αβT)≤min{r(α),r(βT)}=1. 又因为tr(A)=[*]aibi=a≠0,ai,bi(i=1,2,…,n)不全为零.由此可知 r(A)≥1. 所以r(0.E—A)=1.因此,矩阵A的属于n一1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n一1. 从而,A有n个线性无关的特征向量,故A相似于对角矩阵. (Ⅱ)当tr(A)=0时,λ=0是A的n重特征值.但因ai,bi(i=1,2,…,n)不全为零,故A≠0,因而A不相似于对角阵.

解析
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