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  3. [2004年]设f’(x)在Ea，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )．

[2004年]设f’(x)在Ea，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )．

admin2019-03-30  33
问题 [2004年]设f’(x)在Ea，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是(  )．
选项 A、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)>f(a)
B、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)>f(b)
C、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0
D、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0
答案D
解析 解一  由题设知，f’(x)在[a，b]上连续且f’(a)＞0，f’(b)＜0．对f’(x)在[a，b]上使用零点定理知，至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．(C)正确．
    另外，由及极限的保号性知，至少存在一点x0∈(a，b)，使而x0－a＞0，故必有f(x0)＞f(a)．
    同理可知，至少存在一点x0∈(a，b)，满足故f(x0)＞f(b)．(A)、(B)均正确．仅(D)入选．
    解二  因f’(x)在[a，b]上连续，f’(a)＞0，利用命题1．1．7．1知，存在δ1＞0，使f(x)在(a，a+δ1)内单调增加，因而至少存在一点x0∈(a，a+δ1)，使f(x0)＞f(a)．(A)成立．又因f’(b)＜0，利用命题1．1．7．1知，至少存在δ2＞O，使f(x)在(b－δ2，b)内单调减少，因而至少存在一点x0∈(b－δ1，b)，使f(x0)＞f(b)．(B)也成立．
    由解一知，(C)也成立．仅(D)入选．
    解三  举反例用排错法确定选项．令f(x)=－x2+3，a=－1，b=1，显然f’(x)在[－1，1]上连续，且f’(－1)=－2x|x=－1＞0，f’(1)=－2x|x－1＜0，但在(－1，1)内不存在x0使f(x0)=0．事实上，f(x)=0即x2=3的根不在(－1，1)内．仅(D)入选．
     注：命题1．1．7．1  若f’(a)>0(或f’(a)＜0)，又f’(x)在x=a处连续，则存在δ＞0，使f(x)在(a－δ，a+δ)内单调增加(或单调减少)．
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考研数学三

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