[2004年]设f’(x)在Ea,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是( ).

admin2019-03-30  36

问题 [2004年]设f’(x)在Ea,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是(  ).

选项 A、至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)>f(a)
B、至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)>f(b)
C、至少存在一点x0∈(a,b),使得f’(x0)=0
D、至少存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)=0

答案D

解析 解一  由题设知,f’(x)在[a,b]上连续且f’(a)>0,f’(b)<0.对f’(x)在[a,b]上使用零点定理知,至少存在一点x0∈(a,b),使f’(x0)=0.(C)正确.
    另外,由及极限的保号性知,至少存在一点x0∈(a,b),使而x0-a>0,故必有f(x0)>f(a).
    同理可知,至少存在一点x0∈(a,b),满足故f(x0)>f(b).(A)、(B)均正确.仅(D)入选.
    解二  因f’(x)在[a,b]上连续,f’(a)>0,利用命题1.1.7.1知,存在δ1>0,使f(x)在(a,a+δ1)内单调增加,因而至少存在一点x0∈(a,a+δ1),使f(x0)>f(a).(A)成立.又因f’(b)<0,利用命题1.1.7.1知,至少存在δ2>O,使f(x)在(b-δ2,b)内单调减少,因而至少存在一点x0∈(b-δ1,b),使f(x0)>f(b).(B)也成立.
    由解一知,(C)也成立.仅(D)入选.
    解三  举反例用排错法确定选项.令f(x)=-x2+3,a=-1,b=1,显然f’(x)在[-1,1]上连续,且f’(-1)=-2x|x=-1>0,f’(1)=-2x|x-1<0,但在(-1,1)内不存在x0使f(x0)=0.事实上,f(x)=0即x2=3的根不在(-1,1)内.仅(D)入选.
     注:命题1.1.7.1  若f’(a)>0(或f’(a)<0),又f’(x)在x=a处连续,则存在δ>0,使f(x)在(a-δ,a+δ)内单调增加(或单调减少).
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