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[2004年]设f’(x)在Ea,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是( ).
[2004年]设f’(x)在Ea,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是( ).
admin
2019-03-30
57
问题
[2004年]设f’(x)在Ea,b]上连续,且f’(a)>0,f’(b)<0,则下列结论中错误的是( ).
选项
A、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)>f(a)
B、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)>f(b)
C、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f’(x
0
)=0
D、至少存在一点x
0
∈(a,b),使得f(x
0
)=0
答案
D
解析
解一 由题设知,f’(x)在[a,b]上连续且f’(a)>0,f’(b)<0.对f’(x)在[a,b]上使用零点定理知,至少存在一点x
0
∈(a,b),使f’(x
0
)=0.(C)正确.
另外,由
及极限的保号性知,至少存在一点x
0
∈(a,b),使
而x
0
-a>0,故必有f(x
0
)>f(a).
同理可知,至少存在一点x
0
∈(a,b),满足
故f(x
0
)>f(b).(A)、(B)均正确.仅(D)入选.
解二 因f’(x)在[a,b]上连续,f’(a)>0,利用命题1.1.7.1知,存在δ
1
>0,使f(x)在(a,a+δ
1
)内单调增加,因而至少存在一点x
0
∈(a,a+δ
1
),使f(x
0
)>f(a).(A)成立.又因f’(b)<0,利用命题1.1.7.1知,至少存在δ
2
>O,使f(x)在(b-δ
2
,b)内单调减少,因而至少存在一点x
0
∈(b-δ
1
,b),使f(x
0
)>f(b).(B)也成立.
由解一知,(C)也成立.仅(D)入选.
解三 举反例用排错法确定选项.令f(x)=-x
2
+3,a=-1,b=1,显然f’(x)在[-1,1]上连续,且f’(-1)=-2x|
x=-1
>0,f’(1)=-2x|
x-1
<0,但在(-1,1)内不存在x
0
使f(x
0
)=0.事实上,f(x)=0即x
2
=3的根不在(-1,1)内.仅(D)入选.
注:命题1.1.7.1 若f’(a)>0(或f’(a)<0),又f’(x)在x=a处连续,则存在δ>0,使f(x)在(a-δ,a+δ)内单调增加(或单调减少).
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考研数学三
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