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  3. 已知线性方程组 的一个基础解系为[b11，b11，…，b1，2n]T，[b21，b22，…，b2，2n]T，…，[bn1，bn2，…，bn，2n]T．试写出下列线性方程组的通解，并说明理由． [img][/img]

已知线性方程组 的一个基础解系为[b11，b11，…，b1，2n]T，[b21，b22，…，b2，2n]T，…，[bn1，bn2，…，bn，2n]T．试写出下列线性方程组的通解，并说明理由． [img][/img]

admin2019-04-08  35
问题 已知线性方程组

的一个基础解系为[b11，b11，…，b1，2n]T，[b21，b22，…，b2，2n]T，…，[bn1，bn2，…，bn，2n]T．试写出下列线性方程组的通解，并说明理由．
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选项
答案为方便记，对方程组(I)引入如下记号ai=[ai1，ai2，…，ai，2n](i=1，2，…，n)，则其系数矩阵 [*] AT=[a1T，a2T，…，anT]． 同样，对方程组(Ⅱ)引入记号bi=(bi1，bi2，…，bi，2n)(i=1，2，…，n)，相应的系数矩阵为 [*] BT=[b1T，b2T，…，bnT]， 则方程组(I)，(Ⅱ)的矩阵形式为AX=0及BY=0． 由题设有b1T，b2T，…，bnT为方程组(I)的一个基础解系，则 A[b1T，b2T，…，bnT]=[0，0，…，0]， 即 ABT=O， 从而(ABT)T=BAT=O，即B[a1T，a2T，…，anT]=[0，0，…，0]，因而找到了a1T，a2T，…，anT为方程组(Ⅱ)的解向量．下面证明这组解向量线性无关，且其向量个数为2n一秩（B），则该组向量就是方程组(Ⅱ)的一组基础解系． 事实上，因b1T，b2T，…，bnT为方程组(I)的基础解系，故其线性无关，且其所含向量个数为n=2n一秩（A），即秩（A）=n，于是a1，a2，…，an也线性无关，即a1T，a2T，…，anT也线性无关．又 因b1T，b2T，…，bnT线性无关，故b1，b2，…，bn也线性无关，于是秩（B）=n，即方程组(Ⅱ)的解空间的维数为2n一秩（B）=n． 综上所述，a1T，a2T，…，anT为方程组(Ⅱ)的一个基础解系，因而方程组(Ⅱ)的通解为 y=k1a1T+k2a2T+…+knanT， 其中ki(i=1，2，…，n)为任意常数．
解析
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考研数学一

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