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已知线性方程组 的一个基础解系为[b11,b11,…,b1,2n]T,[b21,b22,…,b2,2n]T,…,[bn1,bn2,…,bn,2n]T.试写出下列线性方程组的通解,并说明理由. [img][/img]
已知线性方程组 的一个基础解系为[b11,b11,…,b1,2n]T,[b21,b22,…,b2,2n]T,…,[bn1,bn2,…,bn,2n]T.试写出下列线性方程组的通解,并说明理由. [img][/img]
admin
2019-04-08
51
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为[b
11
,b
11
,…,b
1,2n
]
T
,[b
21
,b
22
,…,b
2,2n
]
T
,…,[b
n1
,b
n2
,…,b
n,2n
]
T
.试写出下列线性方程组的通解,并说明理由.
[img][/img]
选项
答案
为方便记,对方程组(I)引入如下记号a
i
=[a
i1
,a
i2
,…,a
i,2n
](i=1,2,…,n),则其系数矩阵 [*] A
T
=[a
1
T
,a
2
T
,…,a
n
T
]. 同样,对方程组(Ⅱ)引入记号b
i
=(b
i1
,b
i2
,…,b
i,2n
)(i=1,2,…,n),相应的系数矩阵为 [*] B
T
=[b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
], 则方程组(I),(Ⅱ)的矩阵形式为AX=0及BY=0. 由题设有b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
为方程组(I)的一个基础解系,则 A[b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
]=[0,0,…,0], 即 AB
T
=O, 从而(AB
T
)
T
=BA
T
=O,即B[a
1
T
,a
2
T
,…,a
n
T
]=[0,0,…,0],因而找到了a
1
T
,a
2
T
,…,a
n
T
为方程组(Ⅱ)的解向量.下面证明这组解向量线性无关,且其向量个数为2n一秩(B),则该组向量就是方程组(Ⅱ)的一组基础解系. 事实上,因b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
为方程组(I)的基础解系,故其线性无关,且其所含向量个数为n=2n一秩(A),即秩(A)=n,于是a
1
,a
2
,…,a
n
也线性无关,即a
1
T
,a
2
T
,…,a
n
T
也线性无关.又 因b
1
T
,b
2
T
,…,b
n
T
线性无关,故b
1
,b
2
,…,b
n
也线性无关,于是秩(B)=n,即方程组(Ⅱ)的解空间的维数为2n一秩(B)=n. 综上所述,a
1
T
,a
2
T
,…,a
n
T
为方程组(Ⅱ)的一个基础解系,因而方程组(Ⅱ)的通解为 y=k
1
a
1
T
+k
2
a
2
T
+…+k
n
a
n
T
, 其中k
i
(i=1,2,…,n)为任意常数.
解析
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考研数学一
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