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已知线性方程组 的一个基础解系为[b11，b11，…，b1，2n]T，[b21，b22，…，b2，2n]T，…，[bn1，bn2，…，bn，2n]T．试写出下列线性方程组的通解，并说明理由． [img][/img]
已知线性方程组 的一个基础解系为[b11，b11，…，b1，2n]T，[b21，b22，…，b2，2n]T，…，[bn1，bn2，…，bn，2n]T．试写出下列线性方程组的通解，并说明理由． [img][/img]
admin
2019-04-08
56
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为[b
11
，b
11
，…，b
1，2n
]
T
，[b
21
，b
22
，…，b
2，2n
]
T
，…，[b
n1
，b
n2
，…，b
n，2n
]
T
．试写出下列线性方程组的通解，并说明理由．
[img][/img]
选项
答案
为方便记，对方程组(I)引入如下记号a
i
=[a
i1
，a
i2
，…，a
i，2n
](i=1，2，…，n)，则其系数矩阵 [*] A
T
=[a
1
T
，a
2
T
，…，a
n
T
]． 同样，对方程组(Ⅱ)引入记号b
i
=(b
i1
，b
i2
，…，b
i，2n
)(i=1，2，…，n)，相应的系数矩阵为 [*] B
T
=[b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
]， 则方程组(I)，(Ⅱ)的矩阵形式为AX=0及BY=0． 由题设有b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
为方程组(I)的一个基础解系，则 A[b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
]=[0，0，…，0]， 即 AB
T
=O， 从而(AB
T
)
T
=BA
T
=O，即B[a
1
T
，a
2
T
，…，a
n
T
]=[0，0，…，0]，因而找到了a
1
T
，a
2
T
，…，a
n
T
为方程组(Ⅱ)的解向量．下面证明这组解向量线性无关，且其向量个数为2n一秩（B），则该组向量就是方程组(Ⅱ)的一组基础解系． 事实上，因b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
为方程组(I)的基础解系，故其线性无关，且其所含向量个数为n=2n一秩（A），即秩（A）=n，于是a
1
，a
2
，…，a
n
也线性无关，即a
1
T
，a
2
T
，…，a
n
T
也线性无关．又 因b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
线性无关，故b
1
，b
2
，…，b
n
也线性无关，于是秩（B）=n，即方程组(Ⅱ)的解空间的维数为2n一秩（B）=n． 综上所述，a
1
T
，a
2
T
，…，a
n
T
为方程组(Ⅱ)的一个基础解系，因而方程组(Ⅱ)的通解为 y=k
1
a
1
T
+k
2
a
2
T
+…+k
n
a
n
T
， 其中k
i
(i=1，2，…，n)为任意常数．
解析
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考研数学一
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