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上半平面有一条凹曲线y=y(x),当x≠1时,y’(x)≠0,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数,其中Q是法线与x轴的交点,且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行,求y(x)的表达式.
上半平面有一条凹曲线y=y(x),当x≠1时,y’(x)≠0,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数,其中Q是法线与x轴的交点,且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行,求y(x)的表达式.
admin
2021-04-07
57
问题
上半平面有一条凹曲线y=y(x),当x≠1时,y’(x)≠0,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数,其中Q是法线与x轴的交点,且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行,求y(x)的表达式.
选项
答案
曲线y=y(x)在点P(x,y)处的法线方程为 [*] 令Y=0,得X=x+yy’,即它与x轴的交点是Q(x+yy’,0),从而法线段PQ的长度是 [*] 于是[*] 即 yy"=1+(y’)
2
, (*) 令y’=p,y"=[*],代入*式,得y[*]=1+p
2
,即[*],得1/2×ln(1+p
2
)=ln∣y∣+lnC
1
, 即C
1
∣y∣=[*],由x=1时,y=1,p=0,得C
1
=1,故 ∣y∣=[*] 代入dy/dx=p,得dy/dx=±[*],即 [*] 得ln(y+[*])=±x+C
2
,由x=1,y=1,得C
2
=±(x-1), 因此,所求曲线方程为 [*] 即有(无论上式中取“+”号还是“-”号) y=[e
x-1
+e
-(x-1)
]/2
解析
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考研数学二
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