2. 考研
  3. 上半平面有一条凹曲线y＝y(x)，当x≠1时，y’(x)≠0，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，其中Q是法线与x轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行，求y(x)的表达式．

上半平面有一条凹曲线y＝y(x)，当x≠1时，y’(x)≠0，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，其中Q是法线与x轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行，求y(x)的表达式．

admin2021-04-07  27
问题 上半平面有一条凹曲线y＝y(x)，当x≠1时，y’(x)≠0，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，其中Q是法线与x轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行，求y(x)的表达式．
选项
答案曲线y＝y(x)在点P（x，y）处的法线方程为 [*] 令Y＝0，得X＝x＋yy’，即它与x轴的交点是Q(x＋yy’，0)，从而法线段PQ的长度是 [*] 于是[*] 即 yy"＝1＋(y’)2， (*) 令y’＝p，y"＝[*]，代入*式，得y[*]＝1＋p2，即[*]，得1／2×ln(1＋p2)＝ln∣y∣＋lnC1， 即C1∣y∣＝[*]，由x＝1时，y＝1，p＝0，得C1＝1，故 ∣y∣＝[*] 代入dy／dx＝p，得dy／dx＝±[*]，即 [*] 得ln(y＋[*])＝±x＋C2，由x＝1，y＝1，得C2＝±(x－1)， 因此，所求曲线方程为 [*] 即有(无论上式中取“＋”号还是“－”号) y＝[ex－1＋e－(x－1)]／2
解析
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考研数学二

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