设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=________．

admin2019-08-11 129

问题设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos²x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=________．

选项

答案－2sinx．

解析由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫₀^xf(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得
f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos²x+C)’=－2sinxcosx，
从而f(x)=－2cosx，于是
F(x)=∫₀^xf(t)dt=∫₀^x－2costdt=－2sinx．

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