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设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,…,Xn是取自总体X的一个简单随机样本. (Ⅰ)求θ的矩估计量; (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量,为什么? (Ⅲ)求θ的最大似然估计量; (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量,为什么?
设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,…,Xn是取自总体X的一个简单随机样本. (Ⅰ)求θ的矩估计量; (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量,为什么? (Ⅲ)求θ的最大似然估计量; (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量,为什么?
admin
2018-06-12
71
问题
设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X
1
,…,X
n
是取自总体X的一个简单随机样本.
(Ⅰ)求θ的矩估计量
;
(Ⅱ)
是否为θ的无偏估计量,为什么?
(Ⅲ)求θ的最大似然估计量
;
(Ⅳ)
是否为θ的无偏估计量,为什么?
选项
答案
(Ⅰ)记EX=μ,则μ=EX=θ/2,即θ=2μ.故θ的矩估计量[*]. (Ⅱ)由于[*]=2EX=2μ=θ,因此[*]是θ的无偏估计量. (Ⅲ)对于总体X的样本值χ
1
,…,χ
n
,似然函数 [*] 当θ<max(χ
1
,…,χ
n
)时,L=0. 当0≥max(χ
1
,…,χ
n
),L=[*]是θ的单调减函数,因此当θ=max(χ
1
,…,χ
n
)时,L达到最大值.故θ的最大似然估计量[*]=max(X
1
,…,X
n
). (Ⅳ)为求[*]的期望值,需先求[*]的分布. 因总体X服从[0,θ]上均匀分布,因此X
i
(i=1,…,n)都服从[0,θ]上均匀分布,其分布函数为 [*] 概率密度为 [*] [*]的分布函数记为G(χ),概率密度记为g(χ),则 当χ<0时,G(χ)=0;当χ>0时,G(χ)=1;当0≤χ≤0时, G(χ)=P{[*]≤χ}=P{max(X
1
,…,X
n
)≤χ}=P{[*](X
i
≤χ)}. 由于X
1
,…,X
n
相互独立,于是有 [*] 计算得出[*]不是θ的无偏估计量.
解析
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考研数学一
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