设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,…,Xn是取自总体X的一个简单随机样本. (Ⅰ)求θ的矩估计量; (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量,为什么? (Ⅲ)求θ的最大似然估计量; (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量,为什么?

admin2018-06-12  71

问题 设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,…,Xn是取自总体X的一个简单随机样本.
    (Ⅰ)求θ的矩估计量
    (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量,为什么?
    (Ⅲ)求θ的最大似然估计量
    (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量,为什么?

选项

答案(Ⅰ)记EX=μ,则μ=EX=θ/2,即θ=2μ.故θ的矩估计量[*]. (Ⅱ)由于[*]=2EX=2μ=θ,因此[*]是θ的无偏估计量. (Ⅲ)对于总体X的样本值χ1,…,χn,似然函数 [*] 当θ<max(χ1,…,χn)时,L=0. 当0≥max(χ1,…,χn),L=[*]是θ的单调减函数,因此当θ=max(χ1,…,χn)时,L达到最大值.故θ的最大似然估计量[*]=max(X1,…,Xn). (Ⅳ)为求[*]的期望值,需先求[*]的分布. 因总体X服从[0,θ]上均匀分布,因此Xi(i=1,…,n)都服从[0,θ]上均匀分布,其分布函数为 [*] 概率密度为 [*] [*]的分布函数记为G(χ),概率密度记为g(χ),则 当χ<0时,G(χ)=0;当χ>0时,G(χ)=1;当0≤χ≤0时, G(χ)=P{[*]≤χ}=P{max(X1,…,Xn)≤χ}=P{[*](Xi≤χ)}. 由于X1,…,Xn相互独立,于是有 [*] 计算得出[*]不是θ的无偏估计量.

解析
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