2. 考研
  3. 设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本． (Ⅰ)求θ的矩估计量； (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么? (Ⅲ)求θ的最大似然估计量； (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量，为什么?

设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本． (Ⅰ)求θ的矩估计量； (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么? (Ⅲ)求θ的最大似然估计量； (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量，为什么?

admin2018-06-12  103
问题 设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本．
    (Ⅰ)求θ的矩估计量；
    (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么?
    (Ⅲ)求θ的最大似然估计量；
    (Ⅳ)是否为θ的无偏估计量，为什么?
选项
答案(Ⅰ)记EX＝μ，则μ＝EX＝θ／2，即θ＝2μ．故θ的矩估计量[*]． (Ⅱ)由于[*]＝2EX＝2μ＝θ，因此[*]是θ的无偏估计量． (Ⅲ)对于总体X的样本值χ1，…，χn，似然函数 [*] 当θ＜max(χ1，…，χn)时，L＝0． 当0≥max(χ1，…，χn)，L＝[*]是θ的单调减函数，因此当θ＝max(χ1，…，χn)时，L达到最大值．故θ的最大似然估计量[*]＝max(X1，…，Xn)． (Ⅳ)为求[*]的期望值，需先求[*]的分布． 因总体X服从[0，θ]上均匀分布，因此Xi(i＝1，…，n)都服从[0，θ]上均匀分布，其分布函数为 [*] 概率密度为 [*] [*]的分布函数记为G(χ)，概率密度记为g(χ)，则 当χ＜0时，G(χ)＝0；当χ＞0时，G(χ)＝1；当0≤χ≤0时， G(χ)＝P{[*]≤χ}＝P{max(X1，…，Xn)≤χ}＝P{[*](Xi≤χ)}． 由于X1，…，Xn相互独立，于是有 [*] 计算得出[*]不是θ的无偏估计量．
解析
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考研数学一

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