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设曲线L位于Oχy平面的第一象限内,过L上任意一点M处自切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点(),求L的方程.
设曲线L位于Oχy平面的第一象限内,过L上任意一点M处自切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点(),求L的方程.
admin
2016-10-21
49
问题
设曲线L位于Oχy平面的第一象限内,过L上任意一点M处自切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度
,若L过点(
),求L的方程.
选项
答案
设L的方程为y=y(χ),过点M(χ,y(χ))的切线与y轴的交点为A(0,y(χ)-χy′(χ)),又 [*]=χ
2
+[y(χ)-(y(χ)-χy′(χ))]
2
=χ
2
+χ
2
y
′2
, [*]=(y-χy′)
2
, 按题意得χ
2
+χ
2
y
′2
=(y-χy′)
2
,即2χyy′-y
2
=-χ
2
. 又初始条件[*]. 这是齐次方程y′-[*],令u=[*]上,则方程化成 [*] 分离变量得[*] 积分得ln(1+u
2
)=-lnχC
1
,1+u
2
=[*]. 代入u=[*]得y
2
+χ
2
=Cχ. 由初始条件[*],得C=3. 因此L的方程为y
2
+χ
2
=3χ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dHt4777K
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考研数学二
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