设曲线L位于Oχy平面的第一象限内,过L上任意一点M处自切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点(),求L的方程.

admin2016-10-21  32

问题 设曲线L位于Oχy平面的第一象限内,过L上任意一点M处自切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点(),求L的方程.

选项

答案设L的方程为y=y(χ),过点M(χ,y(χ))的切线与y轴的交点为A(0,y(χ)-χy′(χ)),又 [*]=χ2+[y(χ)-(y(χ)-χy′(χ))]2=χ2+χ2y′2, [*]=(y-χy′)2, 按题意得χ2+χ2y′2=(y-χy′)2,即2χyy′-y2=-χ2. 又初始条件[*]. 这是齐次方程y′-[*],令u=[*]上,则方程化成 [*] 分离变量得[*] 积分得ln(1+u2)=-lnχC1,1+u2=[*]. 代入u=[*]得y2+χ2=Cχ. 由初始条件[*],得C=3. 因此L的方程为y2+χ2=3χ.

解析
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