设曲线L位于Oχy平面的第一象限内，过L上任意一点M处自切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点()，求L的方程．

admin2016-10-21 82

问题设曲线L位于Oχy平面的第一象限内，过L上任意一点M处自切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度

，若L过点(

)，求L的方程．

选项

答案设L的方程为y＝y(χ)，过点M(χ，y(χ))的切线与y轴的交点为A(0，y(χ)－χy′(χ))，又 [*]＝χ²＋[y(χ)－(y(χ)－χy′(χ))]²＝χ²＋χ²y^′2， [*]＝(y－χy′)²，按题意得χ²＋χ²y^′2＝(y－χy′)²，即2χyy′－y²＝－χ²．又初始条件[*]．这是齐次方程y′－[*]，令u＝[*]上，则方程化成 [*] 分离变量得[*] 积分得ln(1＋u²)＝－lnχC₁，1＋u²＝[*]．代入u＝[*]得y²＋χ²＝Cχ．由初始条件[*]，得C＝3．因此L的方程为y²＋χ²＝3χ．

解析

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考研数学二

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设曲线L位于Oχy平面的第一象限内，过L上任意一点M处自切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点()，求L的方程．

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