设f(x)为n＋1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n＋1)(x)＝0，fn(x)≠0．

admin2017-08-18 49

问题设f(x)为n＋1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f^(n＋1)(x)＝0，fⁿ(x)≠0．

选项

答案由带拉格朗日余项的n阶勒公式得 f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋[*] 若f^(n＋1)(x)≡0，f^(n＋1)(x)≠0，由上式[*] f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋[*] fⁿ(0)xⁿ是n次多项式．反之，若f(x)＝a_nxⁿ＋ a_n—1x^n—1＋…＋a₁x＋a₀ (a_n≠0)是n次多项式，显然 fⁿ(x)＝a_nn!≠0， f^(n＋1)(x)≡0．

解析

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