设f(x)二阶可导，且f″(x)≥0，u(t)为任一连续函数；a＞0，求证：

admin2022-06-19 44

问题设f(x)二阶可导，且f″(x)≥0，u(t)为任一连续函数；a＞0，求证：

选项

答案题设f″(x)≥0，则由泰勒公式有 f(x)＝f(x₀)＋f′(x₀)(x—x₀)＋[*]f″(ε)(x—x₀)² ≥f(x₀)＋f′(x₀)(x－x₀)，其中ε在x₀，x之间．取x₀＝[*]u(t)dt，x＝u(t)代入上式得 [*] 对上式两端从0到a积分，得 [*]

解析给出函数f(x)二阶可导，且f″(x)＞0，该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式．比较待证的等式易看出，应取
x＝u(t)，x₀＝

u(t)dt (此为常数)．

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