设f(x)二阶可导,且f″(x)≥0,u(t)为任一连续函数;a>0,求证:

admin2022-06-19  28

问题 设f(x)二阶可导,且f″(x)≥0,u(t)为任一连续函数;a>0,求证:

选项

答案题设f″(x)≥0,则由泰勒公式有 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x—x0)+[*]f″(ε)(x—x0)2 ≥f(x0)+f′(x0)(x-x0), 其中ε在x0,x之间.取x0=[*]u(t)dt,x=u(t)代入上式得 [*] 对上式两端从0到a积分,得 [*]

解析 给出函数f(x)二阶可导,且f″(x)>0,该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式.比较待证的等式易看出,应取
x=u(t),x0u(t)dt  (此为常数).
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