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设 (Ⅰ)求常数a,b,c; (Ⅱ)判断A是否可相似对角化,若A可相似对角化,则求可逆阵P,使得P-1AP为对角阵,反之说明理由。
设 (Ⅰ)求常数a,b,c; (Ⅱ)判断A是否可相似对角化,若A可相似对角化,则求可逆阵P,使得P-1AP为对角阵,反之说明理由。
admin
2021-03-10
29
问题
设
(Ⅰ)求常数a,b,c;
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化,若A可相似对角化,则求可逆阵P,使得P
-1
AP为对角阵,反之说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)由AB=0得r(A)+r(B)≤3, 由r(B)≥2得r(A)≤1, 因为A为非零矩阵,所以r(A)≥1,于是r(A)=1, 由[*],解得a=-2,b=1,c=4. (Ⅱ)由(Ⅰ)得A=[*] 由|λE-A|=[*]=λ
2
(λ+3)=0得A的特征值为λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=-3, 由r(OE-A)=r(A)=1,得λ
1
=λ
2
=0有两个线性无关的特征向量,故A可相似对角化. 由OE-A→A→[*]得λ
1
=λ
2
=0对应的线性无关的特征向量为[*] 由-3E-A→3E+A=[*]得λ
3
=-3对应的线性无关的特征向量为α
3
=[*] 取P=[*],则P
-1
AP=[*]
解析
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0
考研数学二
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