2. 考研
  3. 设 (Ⅰ)求常数a，b，c； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，若A可相似对角化，则求可逆阵P，使得P-1AP为对角阵，反之说明理由。

设 (Ⅰ)求常数a，b，c； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，若A可相似对角化，则求可逆阵P，使得P-1AP为对角阵，反之说明理由。

admin2021-03-10  55
问题 设
(Ⅰ)求常数a，b，c；
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化，若A可相似对角化，则求可逆阵P，使得P-1AP为对角阵，反之说明理由。
选项
答案(Ⅰ)由AB＝0得r(A)+r(B)≤3， 由r(B)≥2得r(A)≤1， 因为A为非零矩阵，所以r(A)≥1，于是r(A)＝1， 由[*]，解得a＝－2，b＝1，c＝4． (Ⅱ)由(Ⅰ)得A＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝λ2(λ＋3)＝0得A的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝－3， 由r(OE－A)＝r(A)＝1，得λ1＝λ2＝0有两个线性无关的特征向量，故A可相似对角化． 由OE－A→A→[*]得λ1＝λ2＝0对应的线性无关的特征向量为[*] 由－3E－A→3E＋A＝[*]得λ3＝－3对应的线性无关的特征向量为α3＝[*] 取P＝[*]，则P－1AP＝[*]
解析
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考研数学二

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