设 (Ⅰ)求常数a,b,c; (Ⅱ)判断A是否可相似对角化,若A可相似对角化,则求可逆阵P,使得P-1AP为对角阵,反之说明理由。

admin2021-03-10  29

问题
(Ⅰ)求常数a,b,c;
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化,若A可相似对角化,则求可逆阵P,使得P-1AP为对角阵,反之说明理由。

选项

答案(Ⅰ)由AB=0得r(A)+r(B)≤3, 由r(B)≥2得r(A)≤1, 因为A为非零矩阵,所以r(A)≥1,于是r(A)=1, 由[*],解得a=-2,b=1,c=4. (Ⅱ)由(Ⅰ)得A=[*] 由|λE-A|=[*]=λ2(λ+3)=0得A的特征值为λ1=λ2=0,λ3=-3, 由r(OE-A)=r(A)=1,得λ1=λ2=0有两个线性无关的特征向量,故A可相似对角化. 由OE-A→A→[*]得λ1=λ2=0对应的线性无关的特征向量为[*] 由-3E-A→3E+A=[*]得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为α3=[*] 取P=[*],则P-1AP=[*]

解析
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