设 (Ⅰ)求常数a，b，c； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，若A可相似对角化，则求可逆阵P，使得P-1AP为对角阵，反之说明理由。

admin2021-03-10 54

问题设

(Ⅰ)求常数a，b，c；
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化，若A可相似对角化，则求可逆阵P，使得P^-1AP为对角阵，反之说明理由。

选项

答案(Ⅰ)由AB＝0得r(A)+r(B)≤3，由r(B)≥2得r(A)≤1，因为A为非零矩阵，所以r(A)≥1，于是r(A)＝1，由[*]，解得a＝－2，b＝1，c＝4． (Ⅱ)由(Ⅰ)得A＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝λ²(λ＋3)＝0得A的特征值为λ₁＝λ₂＝0，λ₃＝－3，由r(OE－A)＝r(A)＝1，得λ₁＝λ₂＝0有两个线性无关的特征向量，故A可相似对角化．由OE－A→A→[*]得λ₁＝λ₂＝0对应的线性无关的特征向量为[*] 由－3E－A→3E＋A＝[*]得λ₃＝－3对应的线性无关的特征向量为α₃＝[*] 取P＝[*]，则P^－1AP＝[*]

解析

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考研数学二

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