设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．

admin2016-10-24 53

问题设α₁，α₂，…，α_n为n个n维向量，证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α₁，α₂，…，α_n线性表示．

选项

答案设α₁，α₂，…，α_n线性无关，对任意的n维向量α，因为α₁，α₂，…，α_m，α一定线性相关，所以α可由α₁，α₂，…，α_n唯一线性表示，即任一n维向量总可由α₁，α₂，…，α_n线性表示．反之，设任一n维向量总可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，取e₁=[*]，e₂=[*]，…，e_n=[*]，则e₁，e₂，…，e_n可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，故α₁，α₂，…，α_n的秩不小于e₁，e₂，…，e_n的秩，而e₁，e₂，…，e_n线性无关，所以α₁，α₂，…，α_n的秩一定为n，即α₁，α₂，…，α_n线性无关．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．

考研数学三

设α1，α2，…，αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…，αi-1线性表示，求证：α1，α2，…，αm线性无关．

由题设条件有βTαi=0(i=1，2，…，r)，设k1α1+k2α2+…+krαr+kr+1β=θ，()两端左乘βT，得kr+1βTβ=0；又β≠θ，可得βTβ=||β||2>0，故kr+1=0，代入式()，得k1α1+k2

若α1，α2，…，αs的秩为r，则下列结论正确的是()．

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．

求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．

溶液从深18cm，顶圆直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液．已知当溶液在漏斗中高为12cm时，其表面下降的速度为1cm／min．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

设函数y＝f(x)具有三阶连续导数，其图形如图28所示，那么，以下4个积分中，值小于零的积分是()．

设函数f(x)在x＝0处连续，则下列命题错误的是()．

求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．

函数f(x)=（x-x3）sinπx的可去间断点的个数为

夫物不产于秦，可宝者多。

左侧大肠癌应和以下哪些病进行鉴别

显示视神经孔的摄影体位是

2013年10月31日，甲公司获得只能用于项目研发未来支出的财政拨款1000万元，该研发项目预计于2014年12月31日完成。2013年10月31日，甲公司应将收到的该笔财政拨款计入()。

请从所给的四个选项中，选出最符合下边四个图形一致性规律的选项()

无论有训练者或无训练者，在高温环境中运动时，有氧工作能力都下降。()

中国特色社会主义道路之所以完全正确、之所以能够引领中国发展进步，关键在于

(66)：An　error　can　be　caused　by　attempting　to　divide　by　0．

()技术是向一组独立的计算机提供高速通信线路，组成一个共享数据存储空间的服务器系统，提高了系统的数据处理能力。

设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．

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设α1，α2，…，αm为一个向量组，且α1≠θ，每一个向量αi(i>1)都不能由α1，α2，…，αi-1线性表示，求证：α1，α2，…，αm线性无关．

由题设条件有βTαi=0(i=1，2，…，r)，设k1α1+k2α2+…+krαr+kr+1β=θ，(*)两端左乘βT，得kr+1βTβ=0；又β≠θ，可得βTβ=||β||2>0，故kr+1=0，代入式(*)，得k1α1+k2

若α1，α2，…，αs的秩为r，则下列结论正确的是()．

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．

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设函数f(x)在x＝0处连续，则下列命题错误的是()．

求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．

函数f(x)=（x-x3）sinπx的可去间断点的个数为

夫物不产于秦，可宝者多。

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显示视神经孔的摄影体位是

2013年10月31日，甲公司获得只能用于项目研发未来支出的财政拨款1000万元，该研发项目预计于2014年12月31日完成。2013年10月31日，甲公司应将收到的该笔财政拨款计入()。

请从所给的四个选项中，选出最符合下边四个图形一致性规律的选项()

无论有训练者或无训练者，在高温环境中运动时，有氧工作能力都下降。()

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(66)：An error can be caused by attempting to divide by 0．

()技术是向一组独立的计算机提供高速通信线路，组成一个共享数据存储空间的服务器系统，提高了系统的数据处理能力。

由题设条件有βTαi=0(i=1，2，…，r)，设k1α1+k2α2+…+krαr+kr+1β=θ，()两端左乘βT，得kr+1βTβ=0；又β≠θ，可得βTβ=||β||2>0，故kr+1=0，代入式()，得k1α1+k2

(66)：An　error　can　be　caused　by　attempting　to　divide　by　0．