设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使

admin2020-03-05 12

问题设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使

选项

答案令φ(x)=f(x)∫_x^bg(x)dt+g(x)∫_a^xf(t)dt，则φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且 φ’(x)=[f’(x)∫_x^bg(t)dt—f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫_a^xf(t)dt] =f’(x)∫_x^bg(t)dt+g’(x)∫_a^xf(t)dt，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即 f’(ξ)∫_ξ^bg(t)dt+g’(ξ)∫_a^ξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫_x^bg(t)dt＞0，于是有[*]

解析

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考研数学一

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