若对任意t>0,有f(tx,ty)=t"(x,y),则称函数f(x,y)是n次齐次函数.试证:若f(x,y)可微,则f(x,y)是n次齐次函数的充要条件是

admin2016-04-11  47

问题 若对任意t>0,有f(tx,ty)=t"(x,y),则称函数f(x,y)是n次齐次函数.试证:若f(x,y)可微,则f(x,y)是n次齐次函数的充要条件是

选项

答案必要性:等式f(tx,ty)=tnf(x,y)两端对t求导得 xf1(tx,ty)+yf2’(tx,ty)=ntn-1f(x,y) 令t=1得[*] 充分性:令F(t)=f(tx,ty) (t>0) 则 [*] 从而F(t)=Ctn.F(1)=C=f(x,y)

解析
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