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设有任意两个n维向量组α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm,若存在两组不全为零的数 λ1,λ2,...,λm,k1,k2,...,km,使(λ1+k1)α+λ2+k2)α2+...+(λm+km)αm+=(λ1-k1)β1+(λ2-k2)β2
设有任意两个n维向量组α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm,若存在两组不全为零的数 λ1,λ2,...,λm,k1,k2,...,km,使(λ1+k1)α+λ2+k2)α2+...+(λm+km)αm+=(λ1-k1)β1+(λ2-k2)β2
admin
2019-04-09
33
问题
设有任意两个n维向量组α
1
,α
2
,...,α
m
和β
1
,β
2
,...,β
m
,若存在两组不全为零的数
λ
1
,λ
2
,...,λ
m
,k
1
,k
2
,...,k
m
,使(λ
1
+k
1
)α
+λ
2
+k
2
)α
2
+...+(λ
m
+k
m
)α
m
+=(λ
1
-k
1
)β
1
+(λ
2
-k
2
)β
2
…+(λ
m
-k
m
)β
m
=0,
则
选项
A、α
1
,α
2
,...,α
m
和β
1
,β
2
,...,β
m
都线性相关.
B、α
1
,α
2
,...,α
m
和β
1
,β
2
,...,β
m
都线性_无关.
C、α
1
+β
1
,α
2
+β
2
…,α
m
+β
m
,α
1
-β
1
,α
2
-β
2
…,α
m
-β
m
线性无关.
D、α
1
+β
1
,α
2
+β
2
…,α
m
+β
m
,α
1
-β
1
,α
2
-β
2
…,α
m
-β
m
线性相关.
答案
D
解析
若向量组γ
1
,γ
2
,...,γ
m
线性无关,即
若x
1
γ
1
+x
2
γ
2
+…+x
s
γ
s
=0,必有x
1
=0,x
2
=0,…,x
s
=0.既然γ
1
,γ
2
,...,γ
m
与k
1
,k
2
,...,k
m
不全为零,
由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B),(C).
一般情况下,对于
k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0,
不能保证必有k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
=0及l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0,,故(A)不正确.
一般情况下,对于
k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0,不能保证必有k
1
α
1
+k
2
α
2
…+k
s
α
s
=0及l
1
β
1
+l
2
β
2
…+l
s
β
s
=0,,故(A)不正确.
λ
1
(α
1
+β
1
)+λ
2
(α
2
+β
2
)…+λ
m
(α
m
+β
m
)+k
1
(α
1
-β
1
)+k
2
(α
2
-β
2
)…+k
m
(α
m
-β
m
)=0,又λ
1
,λ
2
,...,λ
m
,k
1
,k
2
,...,k
m
不全为零,故α
1
+β
1
,α
2
+β
2
…,α
m
+β
m
,α
1
-β
1
,α
2
-β
2
…,α
m
-β
m
线性相关.故应选(D).
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考研数学三
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