设有任意两个n维向量组α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm,若存在两组不全为零的数 λ1,λ2,...,λm,k1,k2,...,km,使(λ1+k1)α+λ2+k2)α2+...+(λm+km)αm+=(λ1-k1)β1+(λ2-k2)β2

admin2019-04-09  34

问题 设有任意两个n维向量组α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm,若存在两组不全为零的数
λ1,λ2,...,λm,k1,k2,...,km,使(λ1+k12+k22+...+(λm+kmm+=(λ1-k11+(λ2-k22…+(λm-kmm=0,

选项 A、α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm都线性相关.
B、α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm都线性_无关.
C、α11,α22…,αmm,α11,α22…,αmm线性无关.
D、α11,α22…,αmm,α11,α22…,αmm线性相关.

答案D

解析 若向量组γ1,γ2,...,γm线性无关,即
若x1γ1+x2γ2+…+xsγs=0,必有x1=0,x2=0,…,xs=0.既然γ1,γ2,...,γm与k1,k2,...,km不全为零,
由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B),(C).
一般情况下,对于
k1α1+k2α2…+ksαs+l1β1+l2β2…+lsβs=0,
不能保证必有k1α1+k2α2…+ksαs=0及l1β1+l2β2…+lsβs=0,,故(A)不正确.
一般情况下,对于
k1α1+k2α2…+ksαs+l1β1+l2β2…+lsβs=0,不能保证必有k1α1+k2α2…+ksαs=0及l1β1+l2β2…+lsβs=0,,故(A)不正确.
λ111)+λ222)…+λmmm)+k111)+k222)…+kmmm)=0,又λ1,λ2,...,λm,k1,k2,...,km不全为零,故α11,α22…,αmm,α11,α22…,αmm线性相关.故应选(D).
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