2. 考研
  3. 证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’

证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)； (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’

admin2019-04-22  49
问题 证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。
选项
答案(I)设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即 m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。 根据定积分性质，有 m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b—a)， [*] 根据连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得 [*] 即有 ∫abf(x)dx=f(η)(b—a)。 (Ⅱ)由上题的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)， 又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。 对φ(x)在[1，2]，[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)得 [*] 1＜ξ1＜2， [*] 2＜ξ1＜η≤3， 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有 [*] ξ∈(ξ1，ξ2) [*] (1，3)。
解析
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考研数学二

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