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证明:(I)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ’
证明:(I)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a); (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ’
admin
2019-04-22
53
问题
证明:(I)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b一a);
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ’’(ξ)<0。
选项
答案
(I)设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,即 m≤f(x)≤M,x∈[a,b]。 根据定积分性质,有 m(b一a)≤∫
a
b
f(x)dx≤M(b—a), [*] 根据连续函数介值定理,至少存在一点η∈[a,b],使得 [*] 即有 ∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b—a)。 (Ⅱ)由上题的结论可知至少存在一点η∈[2,3],使 ∫
2
3
φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η), 又由φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx=φ(η),知2<η≤3。 对φ(x)在[1,2],[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并结合φ(1)<φ(2),φ(η)<φ(2)得 [*] 1<ξ
1
<2, [*] 2<ξ
1
<η≤3, 在[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理,有 [*] ξ∈(ξ
1
,ξ
2
) [*] (1,3)。
解析
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考研数学二
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