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设a≠0为常数,f(χ)在(-∞,+∞)连续,考察一阶线性常系数方程 y′+ay=f(χ) (χ∈(-∞,+∞)). (*) (Ⅰ)求通解的表达式; (Ⅱ)设a>0,f(χ)=b,y(χ)为方程(*)的任意一个解,求y(
设a≠0为常数,f(χ)在(-∞,+∞)连续,考察一阶线性常系数方程 y′+ay=f(χ) (χ∈(-∞,+∞)). (*) (Ⅰ)求通解的表达式; (Ⅱ)设a>0,f(χ)=b,y(χ)为方程(*)的任意一个解,求y(
admin
2018-06-12
49
问题
设a≠0为常数,f(χ)在(-∞,+∞)连续,考察一阶线性常系数方程
y′+ay=f(χ) (χ∈(-∞,+∞)). (*)
(Ⅰ)求通解的表达式;
(Ⅱ)设a>0,
f(χ)=b,y(χ)为方程(*)的任意一个解,求
y(χ);
(Ⅲ)设a<0,
f(χ)=b,又∫
0
∞
e
aχ
f(χ)dχ收敛,求
y(χ).
选项
答案
(Ⅰ)将方程两边乘μ(χ)=e
∫adχ
=e
aχ
得 (ye
aχ
)′=e
aχ
f(χ)[*]ye
aχ
=∫e
aχ
f(χ)dχ+C. 于是得通解y=Ce
-aχ
+e
-aχ
∫e
aχ
f(χ)dχ或y=Ce
-aχ
+e
aχ
∫e
aχ
f(t)dt,其中C为[*]常数. (Ⅱ)由题(Ⅰ)的结论及洛必达法则即得 [*] (Ⅲ)由题(Ⅰ)的结论及洛必达法则即得 [*] 当C+∫
0
+∞
e
at
f(t)dt=0时,这是求[*]型极限,可用洛必达法则求得极限.
解析
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考研数学一
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