2. 考研
  3. 设a≠0为常数，f(χ)在(－∞，＋∞)连续，考察一阶线性常系数方程 y′＋ay＝f(χ) (χ∈(－∞，＋∞))． (*) (Ⅰ)求通解的表达式； (Ⅱ)设a＞0，f(χ)＝b，y(χ)为方程(*)的任意一个解，求y(

设a≠0为常数，f(χ)在(－∞，＋∞)连续，考察一阶线性常系数方程 y′＋ay＝f(χ) (χ∈(－∞，＋∞))． (*) (Ⅰ)求通解的表达式； (Ⅱ)设a＞0，f(χ)＝b，y(χ)为方程(*)的任意一个解，求y(

admin2018-06-12  75
问题 设a≠0为常数，f(χ)在(－∞，＋∞)连续，考察一阶线性常系数方程
    y′＋ay＝f(χ)    (χ∈(－∞，＋∞))．    (*)
    (Ⅰ)求通解的表达式；
    (Ⅱ)设a＞0，f(χ)＝b，y(χ)为方程(*)的任意一个解，求y(χ)；
    (Ⅲ)设a＜0，f(χ)＝b，又∫0∞eaχf(χ)dχ收敛，求y(χ)．
选项
答案(Ⅰ)将方程两边乘μ(χ)＝e∫adχ＝eaχ得 (yeaχ)′＝eaχf(χ)[*]yeaχ＝∫eaχf(χ)dχ＋C． 于是得通解y＝Ce－aχ＋e－aχ∫eaχf(χ)dχ或y＝Ce－aχ＋eaχ∫eaχf(t)dt，其中C为[*]常数． (Ⅱ)由题(Ⅰ)的结论及洛必达法则即得 [*] (Ⅲ)由题(Ⅰ)的结论及洛必达法则即得 [*] 当C＋∫0＋∞eatf(t)dt＝0时，这是求[*]型极限，可用洛必达法则求得极限．
解析
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考研数学一

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