设a≠0为常数,f(χ)在(-∞,+∞)连续,考察一阶线性常系数方程 y′+ay=f(χ) (χ∈(-∞,+∞)). (*) (Ⅰ)求通解的表达式; (Ⅱ)设a>0,f(χ)=b,y(χ)为方程(*)的任意一个解,求y(

admin2018-06-12  49

问题 设a≠0为常数,f(χ)在(-∞,+∞)连续,考察一阶线性常系数方程
    y′+ay=f(χ)    (χ∈(-∞,+∞)).    (*)
    (Ⅰ)求通解的表达式;
    (Ⅱ)设a>0,f(χ)=b,y(χ)为方程(*)的任意一个解,求y(χ);
    (Ⅲ)设a<0,f(χ)=b,又∫0ef(χ)dχ收敛,求y(χ).

选项

答案(Ⅰ)将方程两边乘μ(χ)=e∫adχ=e得 (ye)′=ef(χ)[*]ye=∫ef(χ)dχ+C. 于是得通解y=Ce-aχ+e-aχ∫ef(χ)dχ或y=Ce-aχ+e∫ef(t)dt,其中C为[*]常数. (Ⅱ)由题(Ⅰ)的结论及洛必达法则即得 [*] (Ⅲ)由题(Ⅰ)的结论及洛必达法则即得 [*] 当C+∫0+∞eatf(t)dt=0时,这是求[*]型极限,可用洛必达法则求得极限.

解析
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