[2015年] 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化与该时刻物体和介质的温度差成正比．现将一初始温度为120℃物体在20℃恒温介质中冷却，30 min后该物体温度降至30℃，若要使物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

admin2019-05-10 104

问题 [2015年] 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化与该时刻物体和介质的温度差成正比．现将一初始温度为120℃物体在20℃恒温介质中冷却，30 min后该物体温度降至30℃，若要使物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

选项

答案设t时刻物体的温度为T(t)，根据题设写出其所满足的微分方程，写出其通解并利用初始条件确定任意常数．求出T(t)的表达式，再用初始条件求出t值．由题设得[*]=一k[T(t)一20](k＞0)，即[*]+kT=20k，两边乘以e^kt得到 [*]=20k e^kt，即(e^ktT)′=20ke^kt，故e^ktT=20∫ke^ktdt=20∫e^ktdkt=20e^kt+c，所以T=20+ce^-kt．由题设有T(0)=120，T(30)=30，代入上式得到c+20=120，ce^-30k+20=30．解之得C=100，k=[*]，于是 T(t)=100[*]+20=20+100[*]=20+100·[*] 又由题设有T(t)=21，下面求t．令T(t)=20+100·[*]=21，即[*]=10^-2，log₁₀[*]=log₁₀10^-2，则一[*]=一2．故t=60．所以物体温度降至21℃时，还需冷却60—30=30 min．

解析

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考研数学二

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考研数学二

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