若A、B为两个n阶矩阵，且ABA＝B－1，证明：秩(E－AB)＋秩(E＋AB)＝n。

admin2020-01-15 12

问题若A、B为两个n阶矩阵，且ABA＝B^－1，证明：
秩(E－AB)＋秩(E＋AB)＝n。

选项

答案证显然有秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≥秩(E－AB＋E＋AB)＝秩(2E)＝n。 ① 另一方面，由ABA＝B^－1得到 (E－AB)(E＋AB)＝E－AB＋AB－ABAB＝E－(ABA)B ＝E－B^－1B＝E－E＝O，故秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≤n。 ② 由式①与式②得到秩(E－4B)＋秩(E＋AB)＝n。

解析 [证题思路] 只需证明
秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≥n，
秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≤n。

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考研数学一

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