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设函数f’(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,试证明: ∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx.
设函数f’(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,试证明: ∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx.
admin
2016-06-25
40
问题
设函数f’(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,试证明:
∫
a
b
f
2
(x)dx≤
∫
a
b
[f’(x)]
2
dx.
选项
答案
因为f
2
(x)=[f(x)一f(a)]
2
=[∫
a
x
f’(t)dt]
2
,而 [∫
a
x
f’(t)dt]
2
≤(x一a)∫
a
x
[f’(t)]
2
dt≤(x一a)∫
a
b
[f’(t)]
2
dt (施瓦茨不等式), 所以 ∫
a
b
f
2
(x)fx≤∫
a
b
(x一a)dx∫
a
b
[f’(t)]
2
dt=[*][f’(x)]
2
dx.
解析
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考研数学二
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