设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中 ①A2;②P—1AP; ③AT; ④E一A。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

admin2019-05-17  39

问题 设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中
①A2;②P—1AP;
③AT;   ④E一A。
α肯定是其特征向量的矩阵个数为(      )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案B

解析 由Aα=λα,α≠0,有A2α=A(λα)=λAα=λ2α,即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。由

知α必是矩阵属于特征值的特征向量。
关于②和③则不一定成立。这是因为
(P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α,
按定义,矩阵P—1AP的特征向量是P—1α。因为P—1α与α不一定共线,因此α不一定是P—1AP的特征向量,即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组(λE—A)x=0与(λE—AT)x=0不一定同解,所以α不一定是第二个方程组的解,即α不一定是AT的特征向量。故选B。[img][/img]
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